保存力（1次元）

2011 年度 3EC 応用物理 I (力学) 補助プリント No.4
力学的エネルギー保存則について
群馬高専一般教科 (自然科学) 小林晋平
2011. 6. 14.
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講義内容のまとめ
• 保存力の定義とポテンシャルエネルギーの関係
• 力学的エネルギー保存則の証明
• ポテンシャルエネルギーの具体例
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練習問題
以下では全て 1 次元の運動のみを考えるものとする．また g は重力加速度の大きさ，G は万有引力定数を
表す．
(1) 保存力の定義を述べよ．
(2) 保存力 F とポテンシャルエネルギー U の関係を数式で示せ．
(3) 質量 m の物体に保存力しか働かないとき，運動方程式をポテンシャルエネルギー U を使って書け．
(4) 前問の運動方程式の両辺に v を掛けて時間で積分し，力学的エネルギー保存則が成り立つことを証明せよ．
(5) 鉛直上方に向かって x 軸を取る．質量 m の物体に働く重力の大きさを求めよ．
(6) 前問で，x 軸方向の単位ベクトルを ex とするとき，物体に働く重力 F を，ex を使って表せ．
(7) 重力は保存力だと考えられる．その理由を述べよ．
(8) 定義に従って，重力によるポテンシャルエネルギー U を求めよ．ただし座標原点 x = 0 をエネルギーの
原点とする．
(9) x = h0 の地点から物体を初速 v = 0 で自由落下させた．力学的エネルギー保存則を用いて，地点 x = h1
における物体の速さを求めよ．
(10) 摩擦のない水平面にばね定数 k のばねをおき，一端を壁に固定した後，他端に質量 m のおもりをつけた．
ばねが自然長であるときのおもりの位置を座標原点に取り，ばねが伸びる方向に沿って x 軸を取る．ばね
の伸びが x であるときの復元力の大きさはいくらか．
(11) 前問で，復元力 F を x 軸方向の単位ベクトル ex で表せ．
(12) ばねの復元力は保存力だと考えられる．その理由を述べよ．
(13) 定義に従って，ばねの復元力によるポテンシャルエネルギー U を求めよ．ただし自然長のときをエネル
ギーの原点とする．
(14) おもりを x = x0 まで引っ張った後，速さ v = v0 を与えて放した．おもりの速さが v = v1 になる地点の
座標 x を，力学的エネルギー保存則を使って求めよ．
(15) 前問を，おもりが単振動することから位置 x, 速度 v を求めるという方法で計算してみよ（かなり面倒で
あることを確認して欲しい）．
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(16) 1 次元空間のある場所に質量 M の物体 A が静止している．そこから離れたところに質量 m の物体 B が
あるとする．A から B に向かって x 軸を取り，A は座標原点 x = 0 にあるものとする．B が A から x
だけ離れた点にあるとき，A から B に働く万有引力の大きさはいくらか．
(17) 前問の万有引力 F を x 軸方向の単位ベクトルを ex で表せ．
(18) B が A から受ける万有引力は保存力だと考えられる．その理由を述べよ．
(19) 定義に従って，万有引力による B が持つポテンシャルエネルギー U を求めよ．ただし x = ∞ をエネル
ギーの原点とする．
(20) 前問で， x = x0 をエネルギーの原点とするとき，ポテンシャルエネルギー U はどのように変更されるか．
(21) 物体 A を地球，B をその周りを回る人工衛星だとしよう．地球の半径を R とするとき，地球の表面上に
ある B が持つポテンシャルエネルギーはいくらか．
(22) 地表から B を速さ v = v0 で打ち上げた．地球の中心からの距離が x = r に来たとき，B の速さはいく
らか．
(23) B が無限遠方まで飛んで行くには，初速 v0 がいくら以上であればよいか．
(24) 地球の表面に置かれた質量 m の物体が感じる万有引力と，地表近くで物体が感じる重力 mg とを比較す
ることで，重力加速度 g の大きさを G, R などで表せ．
(25) 前問で，G や R に具体的な値を代入して，g がおよそ 9.8 m/s2 になることを確認せよ（G などの数値は
自分で調べること）.
(26) 重力 mg の正体は，地球からの万有引力だとすると，なぜ地表近くにおける重力によるポテンシャルの形
と万有引力によるポテンシャルの形はだいぶ異なるのか，説明せよ．
[参考]
[1] 戸田盛和著『力学』(物理入門コース 1), 岩波書店
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