第2回

物理学演習 IIB 問題 No.2 (量子力学 I)
2015 年 10 月 5 日
1. 電磁波はその波長によって次のように分類される。
種類
波長（単位 m）
γ線
X線
10−11 以下
10−12 ∼ 10−8
紫外線
10−8 ∼ 4 × 10−7
4 × 10−7 ∼ 8 × 10−7 可視光
赤外線
電波
8 × 10−7 ∼ 10−3
10−3 以上
それぞれについて, 対応する光子 1 個のエネルギーの範囲を eV を単位として求めよ。
2. 固体の結晶構造を解析するために, 固体に X 線や電子線を当てたときに起こる回折現象を利用
することができる。回折が起こるためには, 入射する X 線や電子線の波長が, 結晶の格子間隔
と同じ程度またはそれ以下でなければならない。格子間隔を 10−10 m 程度として, 必要な光子
および電子のエネルギーのおよその値を eV を単位として求めよ。
3. 静止した電子 (質量 m) に波長 λ の光を当てたときのコンプトン散乱を考える。光を粒子（光
子）と考え, 散乱前後のエネルギーと運動量の保存を使って, 入射方向に対して角度 θ の方向へ
散乱された光の波長 λ′ を求める。
(a) 相対論によると, 質量 m の自由粒子が運動量 p をもっているときのエネルギーは
E=
√
p2 c2 + m2 c4
(1)
である。運動量が十分小さいとき (|p| ≪ mc のとき), このエネルギーが静止エネルギー
mc2 とニュートン力学の運動エネルギー p2 /(2m) の和で近似できることを示せ。
(b) 光子のエネルギーと運動量の関係は, (1) で m = 0 とした式で与えられることを示せ。
（し
たがって, 光子は質量ゼロの粒子である。）
(c) 電子に対して相対論的なエネルギーと運動量の関係 (1) を使い, 散乱前後のエネルギーと
運動量の保存から λ′ を求めよ。
4. ニュートンの万有引力の法則
m1 m2
r2
に現れる万有引力定数 G は, 物体の間に働く重力の強さを決める定数である。
F =G
(2)
(a) 万有引力定数 G, 真空中の光の速さ c, プランク定数 ℏ = h/(2π) からつくった ℓP = Gα cβ ℏγ
が長さの次元をもつように, べき α, β, γ を決定せよ。(この ℓP はプランク長とよばれる。)
(b) プランク長 ℓP の値を, m を単位として求めよ。ℓP は陽子や中性子の大きさ (10−15 m 程
度) の何倍か。
(c) 問 (a) と同様に, G, c, ℏ からつくった EP = Gα cβ ℏγ がエネルギーの次元をもつように,
べき α, β, γ を決定せよ。(この EP はプランクエネルギーとよばれる。)
(d) プランクエネルギー EP の値を, GeV (= 109 eV) を単位として求めよ。EP は陽子や中性
子の静止エネルギー (1 GeV 程度) の何倍か。
1
5. 電磁場中の荷電粒子のラグランジアンは,
L=
1
e
m ṙ · ṙ − e ϕ(r, t) + ṙ · A(r, t)
2
c
(3)
で与えられる。m と e は荷電粒子の質量と電荷であり, ϕ(r, t) と A(r, t) は電磁場のスカラー・
ポテンシャルとベクトル・ポテンシャルである。
(a) ラグランジュの運動方程式が
(
)
1
mr̈ = e E + ṙ × B
c
(4)
となることを確かめよ。ここで,
E = −∇ϕ −
1 ∂A
,
c ∂t
B =∇×A
(5)
は電場と磁場であり, (4) の右辺はローレンツ力を表している。
(b) 正準運動量 p を, r と ṙ を使って表せ。
(c) ハミルトニアン H(r, p) を求めよ。
(d) 一般に, 量子力学のシュレディンガー方程式は, ハミルトニアンの中の正準運動量 p を微
分演算子 −iℏ∇ に置き換えたハミルトニアン演算子 Ĥ = H(r, −iℏ∇) を使って,
iℏ
∂
ψ(r, t) = Ĥψ(r, t)
∂t
(6)
で与えられる。ψ(r, t) は系の状態を表す波動関数である。電磁場中の荷電粒子のシュレ
ディンガー方程式を具体的に書け。
6. 質量 m, 角振動数 ω の 1 次元調和振動子のラグランジアンは,
L=
1
1
mẋ2 − mω 2 x2
2
2
(7)
である。
(a) ラグランジュの運動方程式が, 単振動の方程式になることを確かめよ。
(b) 正準運動量を p として, ハミルトニアン H(x, p) を求めよ。
(c) 波動関数 ψ(x, t) に対するシュレディンガー方程式を求めよ。
(d) 関数 ψ1 (x, t) がこのシュレディンガー方程式の解であるとき, 関数 ψ2 (x, t) ≡ ψ1 (−x, t) も
解であることを示せ。
2
7. 1 次元の自由粒子のシュレディンガー方程式は,
iℏ
∂
ℏ2 ∂ 2
ψ(x, t) = −
ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
である。必要ならば積分の公式
√
(
)
∫ ∞
β2
π
−αx2 +iβx
dx e
=
exp −
α
4α
−∞
(α, β は複素数, Re α > 0)
(8)
(9)
を使って, 以下の問に答えよ。
(a) 決まった波数 k をもつ波
ψ(x, t) = eikx−iωt
(10)
が解になるように ω と k の関係 ω = ω(k) を求めよ。
(b) シュレディンガー方程式は線形な微分方程式なので, 問 (a) の形の解の重ね合わせ
∫ ∞
dk
ψ(x, t) =
f (k) eikx−iω(k)t
−∞ 2π
も解である。時刻 t = 0 における初期条件が
(
)
1 2
1
ik0 x − 2 x
ψ(x, 0) =
1 exp
2a
(πa2 ) 4
(k0 , a は実数定数)
(11)
(12)
となるように f (k) を決定せよ。（ヒント：フーリエ逆変換せよ。）
(c) 問 (b) で求めた f (k) を (11) に代入し, t > 0 における波動関数 ψ(x, t) を求めよ。
(d) 問 (c) で求めた波動関数から確率密度 ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 を求め, それが x の関数として
ガウス分布になっていることを確かめよ。また, このガウス分布のピークの位置とそのま
わりの広がりの幅が, 時間とともにどのように変化するかを述べよ。
3

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