配布資料

代数学入門
2015 年度後期
工学部・未来科学部 1 年∼
全学科 (月曜 5 限)
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
1 講義内容
(シラバスより抜粋)
整数 (0, ± 1, ± 2, . . . . . . ) は最も「素朴な」数の概念であり、ともすれば実数などと比べて非常
に単純な数の様にも考えられがちである。しかし、〈整数の世界〉が〈実数の世界〉とはまた違った
意味で非常に奥深く魅力的な構造を持っていることが徐々に明らかになり、古来より数多くの数学者
達を研究に駆り立ててきた。さらに近年では、暗号理論など我々の生活に密接に関わる分野にも整数
の理論が応用されるようになっている。
この講義では初等整数論の初歩について学習する。整数を割った「余り」の概念の復習から始め、
「余りの数の世界」に於ける様々な法則の金字塔たるフェルマーの小定理、オイラーの定理を理解す
ることを目指して講義を進める。時間が許せば応用的なトピックスについても扱う予定である。 2 講義の進め方
基本的にシラバス (UNIPA 参照) に沿って講義を行いますが、おそらくシラバスの内容は 10 回く
らいで終わってしまいますので、応用的な内容も扱う予定です (現時点では RSA 公開鍵暗号、ガウス
整数環の整数論を予定しています)。また、講義の最後に小テストを実施し、成績に反映させます。
本講義では代数学の入門として初等整数論 elementary number theory を扱います。高校の新課
程『数学 A』で初等整数論が扱われることになったため、教職科目としても重要な内容ではあります
が、整数論の世界は『数学 A』の教科書で扱われる程度の内容では捉えきれないほど深淵で魅力的な
ものです。教職を目指す方こそ、教科書で扱われている内容の背景に広がる広大な整数論の世界の一
端に触れ、その面白さを生徒に伝えられるような教員を目指して欲しいと思います。また、教職課程
に進むつもりのない方の履修も歓迎します。GPA には関係しない自由科目ですので、あまり成績を
気にせずに整数論の世界をたっぷりと楽しんでいただければ幸いです。
3 評価について
毎週実施する小テストの点数と学期末考査の点数に基づいて評価します。より具体的には
小テストの成績 (最大 30 点) + ( 学期末考査の点数 ) × 0.7 と学期末考査の点数 100% のうち得点の高い方を本講義の評点とします (小テストについては後述します)。
- 出席点は基本的に一切考慮しません。
講義に出席する際には一応カードリーダーへのタッチをすることが推奨されますが、タッチの
し忘れや認証ミスがあったとしてもあまり神経質になる必要はありません。
4 教科書及び参考書
教科書:
遠山啓著『数の不思議 —初等整数論への招待』 (SB クリエイティブ)
数学教育の大家で知られる遠山啓による初等整数論の入門書。予備知識は殆ど不要で、しかも数学
書らしい「堅苦しい」書き方がなされていないので、読み物のようにすらすらと読めると思います。
興味を持った方は、講義の進度は気にせずどんどんこの本を読み進めていってください。
講義はこの内容をもう少し厳密に (「数学の授業っぽい感じ」で) 扱います。また、不定方程式に
ついては扱われていないため講義中で補足します。
参考書:
ガウス整数のような「代数的整数」まで含めた整数論の入門書は色々とありますが、有理整
数のみに終始した初等整数論の教科書は実はあまり数がありません。以下に挙げるのは、上記
の遠山さんの教科書に飽き足りない人向けの本です。
- 楫元著『工科系のための初等整数論入門 —公開鍵暗号をめざして』 (培風館)
タイトルの通り、RSA 公開鍵暗号の原理を理解することを最終目的に定めて書かれた教科書。
扱っている内容はほぼ本講義の内容に準拠している。こちらは、所謂「数学書」っぽい体裁で
書かれているので、「教科書っぽい本じゃないと勉強した気になれない」という人はこちらの
本を用いるのも良いかも。ちなみに最終章で公開鍵暗号が登場するが、その部分はわずか数
ページで (!) 解説されてしまっている。ネット社会を生きる我々が常にお世話になっている暗
号も、実はその原理は結構単純、ということですね。
- 高木貞治著『初等整数論講義』(共立出版)
「とにかく初等整数論をがっつり勉強したいんだ!!」という貴方は、迷わずこの本を読みましょ
う。日本の整数論研究者の草分け的存在である高木貞治による著作。古い本なので、旧字体や
古典的文体に慣れるまでは若干苦労するかもしれませんが、初等整数論の魅力をあますところ
なく描ききった名著だと思います。特に第 2 章の連分数論の部分は、あまり他の著書には書か
れていないことが多く、興味深いとおもいます。
5 小テストについて
本講義では講義中に小テストを実施し、成績に反映させることにします。
- 一応毎週実施するつもりですが、詳細は未定です。また、小テストは原則として講義の最後
の 10–15 分程度を利用して実施します。
- 小テストではノート・参考書等の参照は一切認めません。
- (毎週実施する場合は) 1 回の小テストは (大体) 7 点満点とし、上位 5 回分の得点の合計点を
小テストの点数とします (最大 30 点 / 30 点以上は切り捨て)。
- 原則として小テストの内容は、前の講義をきちんと聞いていたかを確認するチェック問題と
その前の回に実施した問題演習の類題を出題するつもりです。
6 受講に関する注意
- 必ず UNIPA 上で指定期間内に履修登録して下さい (履修登録しなかった場合、学期末の学
力考査を受験出来ない場合があります)。
- 学期末試験終了後、試験の講評を UNIPA およびウェブページ上に掲載する予定です。また、
希望者には学期末試験の答案を返却します (詳細は後日追って連絡します)。
- わざわざ銘記するまでもないですが、他の受講者の迷惑となる行為（私語、携帯電話、徘徊
etc……）は厳に慎んでください。大学生ともなれば社会的には立派な「大人」です。周囲の利
益にも配慮しつつ、自らの行動には自ら責任を取れる様に心掛けましょう。
7 質問の受付、講義情報
Web: http://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/Lectures/2015/algebra intro.html
※ UNIPA のシラバスにリンクを貼っていますが UNIPA のページではありません (!)
メールアドレス:
[email protected]
オフィスアワー:
毎週木曜日 16:30 – 17:30, 4 号館 40903A 室にて
Web ページには講義メモ及び配布物のファイルをおいておきます。
質問は講義前後及びオフィスアワーにて受け付けます。上記オフィスアワーでは都合が悪い方は、
私の都合がつくときであれば対応しますのでメールでアポイントメントをとって下さい (メールでの
質問も歓迎します)。また、数学系列の他の先生のオフィスアワーを利用されても構いません。
メールを出す際は、タイトルに用件を銘記した上で、学科、学籍番号、名前等の送信者の情報が分
かるようにして出す様にして下さい (相手が分からないメールには返信しません)。また、学力考査の
成績に関する質問には応じません。

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