微分方程式の練習問題

2011 年度 3EC 応用物理 I (力学) 補助プリント No.2 -微分方程式の練習問題群馬高専一般教科 (自然科学) 小林晋平
2011. 5. 13
df (t)
以下では t, x, v はそれぞれ時間・位置・速度を表す．またドットは時間微分 f˙(t) =
である．重力加
dt
速度の大きさは g とする．
1
1 次元の等加速度運動
1. [一般論] 質量 m の質点に一定の力 F が働いているとき，初速度を v0 ，初期位置を x0 として，時刻 t に
おける物体の加速度 a(t), 速度 v(t), 位置 x(t) を求めよ．
2. [自由落下] 鉛直下向きに x 軸を取る．初速度 0 で位置 x = 0 から物体を自由落下させるとき，時刻 t に
おける物体の速度 v(t) と位置を x(t) を求めよ．空気抵抗は無視してよい．
3. [鉛直投げ下ろし] 鉛直下向きに x 軸を取る．初速度 v0 で位置 x = 0 から物体を自由落下させるとき，時
刻 t における物体の速度 v(t) と位置を x(t) を求めよ．空気抵抗は無視してよい．
4. [鉛直投げ上げ] 鉛直上向きに x 軸を取る．初速度 v0 で位置 x = 0 から物体を鉛直上方に投げ上げるとき，
時刻 t における物体の速度 v(t) と位置を x(t) を求めよ．空気抵抗は無視してよい．また，v − t グラフ，
x − t グラフを書け．グラフには最高点の座標，落下したときの物体の速度などを書き込むこと．
5. [斜面を滑る質点の運度] 水平面に対して角 θ だけ傾いた摩擦のない斜面を質点が滑る．斜面に沿って下向
きに x 軸を取ってこの運動について考える．
(1) 質点の加速度はいくらか．
(2) 時刻 t での質点の速度 v(t) を求めよ．ただし初速度は 0 とする．
(3) 時刻 t での質点の位置 x(t) を求めよ．ただし初期位置は x = 0 とする．
6. [摩擦のある斜面を滑る質点の運度] 水平面に対して角 θ だけ傾いた斜面を質点が滑る．質点と斜面の間の
動摩擦係数は µ′ である．斜面に沿って下向きに x 軸を取ってこの運動について考える．
(1) 質点に働く垂直抗力 N の大きさと質点の加速度を求めよ．
(2) 時刻 t での質点の速度 v(t) を求めよ．ただし初速度は 0 とする．
(3) 時刻 t での質点の位置 x(t) を求めよ．ただし初期位置は x = 0 とする．
7. [電場中を運動する電荷] x 軸方向に平行な電場 E = Eex がかけられた電場中を，質量 m, 電気量 e の電
荷が運動する．
(1) 電荷の運動方程式を書け．
(2) 電荷に初速度 v(0) = −v0 (v0 は正の定数) を与えるとき，時刻 t での電荷の速度 v(t) を求めよ．
(3) 電荷が最初に出発した位置に戻ってくるまでの時間と，出発してから戻ってくるまでに進んだ道のり
を求めよ．
1
2
変数分離を使う運動
1. 以下の微分方程式を変数分離法を使って解け．
√
′
(1) y = y
(2)
′
y = xy
(3)
′
y = sin x tan y
′
(4) y = −
4 − y2
4 − x2
(5)
y ′ = x3 + e2y − x3 e2y − 1
2. 質量 m の物体が鉛直下方に落下している．この物体に速度に比例する抵抗力 kv (k は比例定数) が働くと
する．鉛直下方に向かって x 軸を取り，この運動について考える．
(1) 物体の運動方程式を書き，加速度を求めよ．
(2) 物体の運動方程式を変数分離法を使って解き，時刻 t での物体の速度 v(t) を求めよ．ただし初速度は
0 とする．
(3) 前問の速度をさらに積分し，時刻 t における物体の位置 x(t) を求めよ．ただし初期位置は 0 とする．
(4) v − t グラフ，x − t グラフを書け．終端速度など，物理的に重要と考えられる値を書き込むこと．
(5) 物体に働く抵抗力が kv ではなく αv 2 (α は定数) であった場合に v(t) を計算せよ．初速度は 0 とする．
3
単振動とその応用
1. 以下の微分方程式を考える．
d2 x(t)
+ ω 2 x(t) = 0
dt2
(ω は定数)
(1) sin ωt がこの微分方程式の解であることを示せ．
(2) この微分方程式の実一般解を求めよ．
(3) この微分方程式の複素一般解を求めよ．
(4) 初期条件 x(0) = A, ẋ(0) = 0 のもとで，この微分方程式の解を求めよ．
(5) 初期条件 x(0) = x0 , ẋ(0) = v0 のもとで，この微分方程式の解を求めよ．
2. 質量 m の質点が，摩擦のない水平面の置かれたばね定数 k のばねに繋がれて運動している．ばねは水平
方向にのみ伸び縮みするものとし，その方向に沿って x 軸を取る．ばねが自然長のときの質点の位置を座
標原点 x = 0 とする．
(1) 質点が位置 x にあるとき，ばねの運動方程式を書け．
(2) 質点の運動の角振動数 ω はいくらか．
(3) 質点の運動の周期 T はいくらか．
(4) 質点を位置 x = x0 まで動かし，速度 ẋ(0) = v0 で手を離した．質点の時刻 t での速度 v(t) と位置
x(t) を求めよ．
(5) この運動の振幅はいくらか．
(6) v − t グラフ，x − t グラフを書け．
(7) 任意の時刻で，この系が持っている力学的エネルギーは一定であることを示せ．
(8) ばね定数 k のばねを 2 本並列に繋いで同じ質点と繋いだ場合，質点の単振動の角振動数は何倍になる
か．ばねを 2 本直列に繋いだ場合ではどうか．
3. 電気容量 C のコンデンサーと，インダクタンス L のコイルを直列に繋いで LC 共振回路を作る．コンデン
サーに電荷 Q をため，その後の電荷の変化を観察する．
(1) 時刻 t にコンデンサーに蓄えられている電気量を q(t) とするとき，キルヒホッフの法則を使って q(t)
が満たす微分方程式を書け．
2
(2) 電気量 q(t) は単振動と同じ周期的な運動をする．その角振動数，振動数，周期はいくらか．
(3) 今考えている状況は初期条件 q(0) = Q, q̇(0) = 0 に対応することを使い，微分方程式を解いて q(t) を
求めよ．
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