C1 : y = x(x ¡ 3)2

年番号
1
3
2 つの曲線
C1 : y = x(x ¡ 3)2 ;
C 2 : y = m2 x
えよ．
(1) cos x ¡ sin x の最小値はアイであり，最大値は
で極大値
ア
(2) m の値の範囲は
オ
関数 f(x) = 2 cos3 x ¡ 8 sin x cos x ¡ 2 sin3 x + 6 #0 5 x 5
，x =
イ
<m<
カ
¼
; について，次の設問に答
2
(m は正の実数)
は異なる 3 点で交わるものとする．原点以外の交点の x 座標を ®; ¯ (0 < ® < ¯) とする．
(1) C1 は，x =
氏名
ウ
で極小値
をとる．
エ
ウ
である．
(2) f(x) を t = cos x ¡ sin x で表した関数を g(t) とおくと
g(t) =
エ
t3 +
オ
t2 +
カ
t+
キ
であり
である．
®=
キ
¡ m;
¯=
ク
+m
(3) f(x) の最大値は
である．
コ
ケ
のときである．このと
となる．
（北海道薬科大学 2015 ）
2
3 次関数 f(x) = x3 ¡ 3x2 ¡ 3ax（ a は実数）が x = ® で極大値，x = ¯ で極小値（ ®; ¯ は
実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1) a の値の範囲は a > アイである．
C
(2) ® ¡ ¯ = ウエ
a + オである．
(3) f(x) の極大値と極小値の差が
，最小値は
ケコ
サシ
である．
（北海道薬科大学 2013 ）
(3) C1 と C2 で囲まれた 2 つの領域の面積が等しくなるのは，m =
き，2 つの領域の面積の和は
ク
1
のとき，a の値は
2
カキ
ク
である．
（北海道薬科大学 2014 ）
4
関数 f(x) = x3 ¡ 2x2 に対して，曲線 C を y = f(x) で定義する．
6
2 つの放物線
(1) C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式は
y=(
t2 ¡
ア
t)(x ¡ t) + t3 ¡
イ
C1 : y = x2 ¡ 6x + 12;
ウ
t2
の頂点同士を結ぶ直線を ` とする．
である．
(1) C1 の頂点の座標は (
(2) C 上の点 (an ; f(an )) における接線が C 上の他の点 (an+1 ; f(an+1 )) で交わるとすると
an+1 = エオ an +
;
ア
イ
オ
x+
カ
(3) C1 と ` との交点の x 座標は
が成り立つ．この式を an+1 ¡ p = q(an ¡ p) とおくと，定数 p; q の値は
キ
p=
;
ク
) であり，C2 の頂点の座標は (¡
ウ
; ¡
)で
エ
ある．
(2) ` の方程式は y =
(n = 1; 2; 3; Ý)
カ
C2 : y = x2 + 6x + 8
¡
q = ケコ
ス
セ
の和は
となる．
キ
ク
，
ケコ
，C2 と ` との交点の x 座標は ¡
サ
シ
，
である．C1 と ` とで囲まれた部分の面積と，C2 と ` とで囲まれた部分の面積と
ソ
タチ
となる．
となる．
（北海道薬科大学 2011 ）
(3) a1 = 3 のとき，(2) の結果より
サ
an =
+
シ
ス
セ
7
( ソタ )n¡1
放物線 C : y = x2 ¡ 6x + a（ a は正の実数）は，x 軸と，異なる 2 点 A，B で交わるものとす
る．x 座標の値の小さい方を A とする．また
が得られる．
C と x 軸および y 軸の 3 つで囲まれた部分の面積を S1
（北海道薬科大学 2012 ）
C と x 軸で囲まれた部分の面積を S2
C と x 軸および直線 x = 6 の 3 つで囲まれた部分の面積を S3
5
関数 f(x) =
x3
+ ax2
+ bx + 28（ a; b は定数）がある．曲線 y = f(x) 上の点 (2; f(2)) に
とする．
おける接線の方程式が y = 15x であるとき，次の設問に答えよ．
(1) a の取り得る値の範囲は
(1) a の値は
ア
，b の値は
イウ
である．
<a<
(2) S1 + S3 = S2 となるのは a =
(2) f(x) は
ク
のときである．
(3) (2) が成り立つとき
x = エオのとき，極大値カキ
x=
である．
のとき，極小値ケコ
をとる．
(3) 0 5 x 5 2 の範囲では，f(x) の最大値はサシ，最小値はスセである．
（北海道薬科大学 2011 ）
A の x 座標は
¡
C
B の x 座標は
+
C
であり，S1 + S3 の値は
C
である．
（北海道薬科大学 2010 ）

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