積分の基本

赤阪正純 (htt鶴グ nuprioweb.fc2 com)
積分計算のキホン
績夕のストトや
かえて
フノ
そら ι
｀ヾ ‐
力/′ ￨レを―
積分計算のキホン
1
「プチ
ノ
や
†
・ァ 1イ
ヽ
数学 Ⅱ の復習
微分すると /(″ )になる関数を /(″ )の不定積分といい
″ と表します /(″ )の不定積′
)を求
Jr/(″ )ご
めることを /(″ )を積分するといいますつまり積分とは微分の逆です
“
例えば「3″ 2の不定積分は ?」と言われれば,「微分すると 3″ 2になる関数は何ですか ?」という意味で
_
この場合,メや ″3+1,″3_2,″ 3+v電 ,… … など,いろいろあります
す
2ご ″
3″
=″ 3J_c (cは憑箋分定数 )
よって
,
″31_c
K逆関構く
ら、
‐
ヽ
も●そ
■)てヽ
1
2
」聖望lビ 3″
俎う
と定数付きで表現しますつまり不定積分は定数の違いだけで無数にありますだから「不定」という言葉
∫
が付いているのです
″注
多すぎて 1つに定まらない, というわけです
「積分は微分の逆」と言いましたが実はそう単純な話ではありません
そのうち真実を教えます
_
「微分すると/(″ )になる関数を/(″ )の不定積分という」と定義しましたが,どんな関数にも必
ず不定積分が存在するのでしょうかつまり,微分するとその関数になるような関数が絶対にあると断言で
酎
きるのでしょうか実￨ま「不定積分は存在するが,具体的に表すことはできないJという場合があります
2α
「あるのに見せられない」というおかしな状況です例えば,不定積分
α″や
ο ″ ″ など
∫ 平
∫
は,シンプルな式であるにも関わらず,これらの原始関数は高校で習う関数では表すことができません
でも, こんなヤバイ関数は高校レベルでは登場しないので安心してください (大学で学びます) cフ
.
1ツ=よ
2
ようヽ■ ―
基本関数の積分
数学 Ⅱ では,2次関数や 3次関数だけを扱いました
だから微分や積分の計算もラクなもんでした
すでに数学 Ⅲ の微分を経験した皆さんは,うすうす感じていると思いますが,数学 Ⅲ では,多種多様な
関数がワンサカ登場するので,積分計算も想像を絶するほどメンドクサクなります
夕筆
まずは,以下の微分の関係式から導かれる積分公式を完全に暗記していただきます
1、
んへ ,
不定積分の基本公式 (全て完壁に暗記すること)
)′
一
一
〓
″ ″
α α
tぅ仙
I
∫
￨]￨だ
∫
.7 瑾
″=― 蕊 +C
∫冨トラ∂
r α
ο
″=ο ″+C
Jβ
〆１一″
秦げ21ヽ時議町3 (。 ″ =ο r
以ヽ
7`31atヽ
ご
″
C
=tan″ 十
∫豪
契
:百
琵
七十C“
警
10gl″
t‐
11は飾
そ´ セtミヽく｀ほ減7ほいヽ
ヽ
い2‐
ヾさスリやす
ヽ
よつ
さ
2ヵ毎 !t
+C
ヘー築致掛わう幾舞値 E
ヽ
ヽ
ヽ
め′
得セル
ア
ぷ:毛ご(轟 y― 轟
+C
Ｃ‘
十
==轟
Sln″ α″ =― Cos″
ん
ド ”
(tan″ )′
∫
厳■
==― sin″
+C
一
)′
cOs″ ご″ =sin″
、リ
﹁ぐ
(cOs″
絆
∫
は αキー1なる実数 )
ーＳ
)′
(α
い
=⇒
=cos″
続うなぺ
`う (Sin″
41ぁ ,らFう
は積分定数 )
ハα
α
α
+11-C
″
″
==″ αぐ
=α
」
(π革
可
:T″
」″ご
+1)′
ょうすいヽ
(C‐
赤阪正純 (htt● グ nupri web fc2 com)
積分計算のキホン
く
各
御値つ
珍
注∫÷α
″
い
て
=10g″ +Cにつ
?
.
=÷
でもあるから,絶対値なんてつけずに「
α″ =10g″ 十 Cでエエんとちゃうのな
」 ÷
んで絶対値がつくねんJって不思議に思うかもしれません実際問題として,不定積分の計算では,絶対値
「(log″ )′
`)'u・
があってもなくてもあんまり影響ないのですが ,定積分の計算 (面積などの計算 )になると絶対値がないと
まあ,今はあんまり気にせんと, とにかく絶対値をつけといてください
ヤッカイなことが起こるのです
多注
τてよい気がしますが, 実はこれらの不定孝
tan″ α″や
10g″ ご″なども基ラ
文に入オ
ヽ関委
責分
∫
Jβ
は,ちょっとした工夫が必要ですある事をしないと計算できません (後ほど教えます)つまり,見た目
がシンプルな関数でも積分計算が難しかつたり,逆に,見た目が複雑そうな関数でも意外と簡単に積分計算
しム撼実な
う
そこが積分計算の面白いところで,まるでパズルのようです。
できたりする場合もあるのです
や 3ぅ
tく (積分計算の心構え
① 積分した後に,微分して元に戻るか必ず確認する習慣を付けよう
/(″ )を積分するとF(″ )になる―
Jr/(″ )ご
②
″
=F(″ )
F(″ )を微分すると/(■ )になる
―
F′ (″ )=/(″ )
積分計算は積の形や商の形に弱い.いかにしてこれらの形を解消するかが計算のポイント
.
今のところは展開したりして乗り切るしかないが,後ほどうまい方法を伝授する
③
うん frく
・
がんぼ3よ …
落ち着いて最後まで計算し尽すことあきらめないこと. くじけないこと
(3)まずは展開しよう
例題(1)J・メ
√″
Fご
(2)∫
響
マ
F(1+7:「
α
″
ィ
)2
″
(4) Jβ
ョ
吉7-2)sin″ α
「
「
(5)」
百:弓;」 ″
(3) J「
(τ
=Jr″ ,d″
」 7α ″ ″ :α ″
2マ
==Jう
=軍
=Jr(″ :+2J卜
2.″
:+1+c
″
薫
軍
可
Ftt「
=1争
、
妨
I″
、■
は
ダツタラ(り、
,実
+事 ″:+1+C
2+2″ +2″
″
C
ち着いて展開すれば …
(4)一瞬 ,戸惑うけど,落'十
″
″
=Jr(t♀ }争 -2)sin″ α
静
.-2)sin″ ご
∫ま
(τ
=:″ ;+C
=∫
(cOS″
-2 sin″ )α ″
(2)分数を分けて累乗の形にしよう
2_3″ +2
″
∫
α
″
J「
〓
一
一
∫
一
一 =″
″
:十
2)グ
:+2″
`:)ご
α
″
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lil:二
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″
―
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■
o創 J十
・
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=″ -3 1ogに￨-2″
そ
急H鳥げう。
″:)グ ″
:+1+2″
=弓
0 (1)まずは累乗の形に直そう
^″
1+島
″
∫輌
〈
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=JrV7(1+ギ等
r(V7+2+ギ
″
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1+C
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