自習用演習問題 No.2

物理学 2 自習問題 No. 2
• 特に提出は求めないが，授業の予習・復習のために解いておくことを勧めます。
• 講義で話していない範囲の内容が含まれる場合があります。
問題 1
(基本問題)
質量 2 kg の物体に対し，x 軸方向に F = −10 という力が作用するとする。
この物体は t = 0 のときに，x = 0 の位置で静止していたとする。以下の問
に答えよ。
(a) この物体の x 軸方向の運動方程式を書け。
(b) この物体の運動方程式を解き，任意時刻 t における物体の位置 x(t) と速
度 v(t) を求めよ。
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問題 2
(基本問題)
質量 5 kg の物体に対し，x 軸方向に F = −10t という力が作用するとする。
この物体は t = 0 のときに，x = 0 の位置で静止していたとする。以下の問
に答えよ。
(a) この物体の x 軸方向の運動方程式を書け。
(b) この物体の運動方程式を解き，任意時刻 t における物体の位置 x(t) と速
度 v(t) を求めよ。
問題 3
(標準問題)
質量 m の物体に対し，x 軸方向に F = −A cos(ωt) という力が作用するとす
る。この物体は t = π/2 のときに，x = 0 の位置で静止していたとする。以
下の問に答えよ。
(a) この物体の x 軸方向の運動方程式を書け。
(b) この物体の運動方程式を解き，任意時刻 t における物体の位置 x(t) と速
度 v(t) を求めよ。
問題 4
(標準問題)
⃗ = (at2 , b cos(ωt)) という力が作
質量 m の物体に対し，x-y 平面に沿って，F
用していたとする。この物体は t = π/2 のときに，⃗r = (0, 0) の位置で静止
していたとする。以下の問に答えよ。
(a) この物体の運動方程式を x 方向，y 方向についてそれぞれ書け。
(b) この物体の運動方程式を解き，任意時刻 t における物体の位置 ⃗r(t) と速
度 ⃗v (t) を求めよ。
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問題 5
(標準問題)
x 軸上を運動する質量 2 kg 物体に対し，x 軸方向にグラフのような力が作用
するとする。このグラフは，t = 0，F = −1N の点を頂点とし，t = 2 s で加
速度がちょうどゼロになるような放物線である。時刻 t = 0 において，物体
が x = 5 m の位置で，− 4 m/s という速度で運動していたとすす。以下の
問に答えよ。
F [N]
2 t[s]
O
−1
(a) この物体の x 軸方向の運動方程式を書け。
(b) この物体の運動方程式を解き，任意時刻 t における物体の位置 x(t) と速
度 v(t) を求めよ。
問題 6
(標準問題)
充分に広い水平面の上で，時刻 t = 0 において，質量 m の物体を水平面から
上方に θ という角度で，v0 の速さで斜めに投げあげる。投げあげた場所を原
点にとり，水平方向かつこの物体が飛んでいく方向に沿って x 軸，鉛直方向
上向きに y 軸を設定する。投げられた物体には，鉛直下向きに重力が作用し
ているとする。重力加速度の大きさを g とし，空気抵抗など，重力以外の力
は無視できるとして，以下の問に答えよ。
(a)
(b)
(c)
(d)
この物体の運動方程式を書け。
t = 0 における物体の速度 ⃗v (0) を成分で表せ。
運動方程式を解いて，物体の位置と速度を求めよ。
この物体の軌跡を表す x と y の関係式を求めよ。
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(e) 物体を一番遠くまで飛ばすには，角度 θ をどのように設定すればいいか
を議論せよ。
(f) 水平方向に ℓ だけ離れたところにある，高さ H の壁をとびこえていくた
めに必要な v0 と θ の関係式を答えよ。
問題 7
(発展問題)
充分に広い水平面の上で，時刻 t = 0 において，質量 m の物体を水平面から
上方に θ という角度で，v0 の速さで斜めに投げあげる。投げあげた場所を原
点にとり，水平方向かつこの物体が飛んでいく方向に沿って x 軸，鉛直方向
上向きに y 軸を設定する。投げられた物体には，鉛直下向きに重力が作用し
ているとする。また，この物体には，重力以外に，速度に比例するような空
気抵抗 f⃗ = −k⃗v が作用するとする。重力加速度の大きさを g として，下記
の問に答えよ。
(a)
(b)
(c)
(d)
この物体の運動方程式を書け。
t = 0 における物体の速度 ⃗v (0) を成分で表せ。
運動方程式を解いて，物体の位置と速度を求めよ。
物体を一番遠くまで飛ばすには，角度 θ をどのように設定すればいいか
を議論せよ。
問題 8
(発展問題)
重力以外に速度に比例する空気抵抗が作用する場合の運動を考える。物体の
質量を m，重力加速度を g とすると，鉛直方向の運動方程式は，
dv(t)
= −mg − kv(t) ,
dt
と書ける。t = 0 のときの速度を v(0) = v0 とする。以下の問に答えよ。
m
(a) 逐次近似法 (詳細は自分で調べること) を用いて v(t) を求めよ。
(b) 変数分離法を用いて解析的に v(t) を求めよ。
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問題 9
(発展問題)
原点から a の距離までは力を受けず，a より遠く離れると a からの距離に比
例するような引力を受けて直線上を動く物体がある。この物体を原点に置い
て，初速 v0 ではじいたときの運動を考察せよ。特に，(1) 横軸に時間 t，縦
軸に位置 x，(2) 横軸に時間 t，縦軸に位置 v ，(3) 横軸に時間 x，縦軸に位置
v ，をとった 3 種類のグラフを描いてみよ。
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