改訂2追加分

補充問題 4
難易度 ★★★
1
CHECK
2
3
CHECK
右の図のような三角柱 ABC-DEF が中心 O ，半径
1 の球に内接している。すなわち，三角柱の頂点
CHECK
C
A
A ，B ，C ，D ，E ，F はすべて，中心 O ，半径 1 の球
面上にある。また，三角形 ABC と三角形 DEF は
合同な正三角形で，四角形 ADEB ，四角形 BEFC ，
B
F
D
四角形 CFDA は合同な長方形であるとする。
E
∠ AOD ＝ 2α ， ∠ AOB ＝ 2 β とおく。ただし，
0 °＜ α ＜ 9 0 °， 0 °＜ β ＜ 6 0 °とする。
si n β
( 1 ) c o s α の値を求めよ。
( 2 ) 三角柱 ABC-DEF の体積 V を α を用いて表せ。　( 大阪市大＊)
( 1 ) △ OAD と △ OAB について考えると話が見えてくるはずだ。
( 2 ) では， ( 1 ) の結果を利用して，三角柱 ABC-DEF の体積 V を sin α と cos α
ヒント！
で表すことができる。空間図形の応用問題だけれど頑張って解いてみよう。
( 1 ) 半径 1 の球に内接する三角柱
点 O より辺 AD
ABC-DEF の図を下に示す。
に下した垂線の
・△ O A D
足を M とおくと，
について
A
考えると
OAとOD
M
は外接球
D
の半径 1
C
N
∠ AOM ＝ α ，
1
1
に等しい
ので，
O
1
sin α
F
半径 1 の
外接球
よって， △ OAD は，
二等辺三角形である。ここで，
α
α
cos α
直角三角形より，
AM ＝ sin α …… ①
E
1
M
∠ AMO ＝ 90 °の
B
OA ＝ OD ＝ 1
212
△ OAM は，
A
OM ＝ cos α …… ②
O
1
D
AM
＝ sin α
1
OM
＝ cos α
1
①より，AD ＝ 2 AM ＝ 2 sin α … ③
となる。
● 補充問題
・△ OAB も同様に
OA ＝ OB ＝ 1 の
A
cos α：AL ＝2：3
sin β
二等辺三角形で
1
あり，O から辺
N
A G ( ⑥より)
B
∴AL ＝
1
β β
ABC の面積を S とおくと，
垂線の足を N とおくと，△OAN は
S＝
∠ AON ＝ β ，∠ ONA ＝ 90 °
の直角
AN
＝ sin β
1
三角形となるので，
AN ＝ sin β …… ④
√3
AB ＝ 2 AN ＝ 2 sin β … ⑤ となる。
2
・ここで中心 O から正三角形 ABC
図形の対称性から， G は △ ABC
A
点 O，G，A，M
M
は同一平面内に
D
OM ＝ cos α
G
cos α O
B
＝ 2 sin β
(⑤より) であり，
2sin β
B
(2)
(1)
cos α
V ＝ S・AD ＝
√3
( 2 sin β )
4
( ⑧より)
2sin β
G
L
2sin β
3
cos α
4
2
√3
×
2
おくと，
A
ABC について
3
4
高さ
………… (答)
F
AG ＝ OM ＝ cos α … ⑥ である。
・ここで正三角形
＝
底辺
⑦より
( 2 ) 三角柱 ABC-DEF の体積を V と
L
形である。よって， ②より，
AB＝BC＝CA
sin β ＝
AL
sinβ
√3
∴ cosα ＝
… ⑨ である。
C
E
OGAM は長方
BC
√3 2
a だね。
4
底面積
存在し，四角形
( 2 sin β ) 2＝ 12 ・2 sin β・ 32 cosα … ⑧
sinβ
cosα
に下した垂線の足を G とおくと，
示すように，4
4
一辺の長さが a の正三角
④より，
さらに，右図に
√3
形の面積は
の重心になる。
3
cos α …… ⑦ となる。
2
また， A L⊥ BC より，正三角形
O
A B に下した
(∵AG：GL＝2：1 )
C
2
√3
4
( 2 sin β ) 2・2 sin α
高さ
2 sin α
( ③より)
√3
2
cos α ( ⑨より)
√3
cos α ) 2・2 sin α
・( 2・
4
2
√3
＝
・3 cos 2α・2 sin α
4
3√3
＝
sin α cos 2α　である。
2
＝
√3
………… (答)
直線 AG と辺 BC
の交点を L とおくと，
213

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