一貫クラス 数学Ⅱ 3学期⑪ ( )組( )番 名前( ) １ 次の命題の真偽を調べよ。ただし，a, b, c は実数とする。 0 11 a =0 ならば ab =0 である 0 21 ac = bc ならば a = b である ２ 次の命題の真偽を調べよ。ただし，x，y は実数，m，n は自然数とする。 (1) x = y ならば x = y である (2) x =2 ならば x 2 -5x +6=0 である (3) m，n がともに素数 ならば m + n は偶数 である (4) n が 3 の倍数 ならば n は 9 の倍数 である ３ x は実数，n は整数とする。集合を用いて，次の命題の真偽を調べよ。 2x + 4 ( 0 0 11 x <-3 n は 24 の正の約数 0 21 n は 18 の正の約数 ４ x は実数とする。集合を用いて，次の命題の真偽を調べよ。 (1) -1< x <1 2x -4<0 (2) x >2 -1- 3x +1 ( 0 ５ 次の に適するものを，下の ①～③ から選べ。 2 0 11 x は実数とする。 p：x -6x +8=0 q：x =4 とすると， p は q であるための 。 0 21 四角形について p：ひし形である q：対角線が垂直に交わる とすると，p は q であるための 。 ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが，十分条件ではない ③ 十分条件であるが，必要条件ではない ６ x，y は実数とする。次の に適するものを，下の ①～③ から選べ。 (1) xy =1 は x =1 かつ y =1 であるための 。 (2) x >0 かつ y >0 は xy >0 であるための 。 (3) △ABC で，AB=BC=CA は 4A= 4B= 4C であるための 。 ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが，十分条件ではない ③ 十分条件であるが，必要条件ではない ７ n を整数とし，命題 P を ｢n は 4 の倍数 n は 8 の倍数｣ で定める。 (1) 命題 P の逆 ! 対偶を述べ，それらの真偽を求めよ。 (2) 命題 P の裏を述べよ。 ８ 実数 a，b に関する条件 p，q を次のように定める。 p：a 2 + b 2 <10 q：a <1 または b <3 (1) 命題「p ウ q」の対偶は「 である。 ア ， イ ア イ 」である。よって，「p q」は に当てはまるものを次の ～ のうちから一つずつ -2- 選び， に当てはまるものを次の ， のうちから一つ選べ。 ウ a 2 + b 2 <10 a 2 + b 2 ( 10 a 2 + b 2 >10 a 2 + b 2 ) 10 a <1 または b <3 a <1 かつ b <3 a ) 1 または b ) 3 a ) 1 かつ b ) 3 真 偽 (2) 命題「q p」の反例になっているものは よって，q は p であるための エ オ エ である。 。 に当てはまるものを次の ～ のうちから一つ選び， オ に当てはまるも のを次の ～ のうちから一つ選べ。 a =3 ，b =4 a =2 ，b =1 a =-1 ，b =0 a =-1 ，b =-4 必要十分条件である 必要条件であるが，十分条件ではない 十分条件であるが，必要条件ではない 必要条件でも十分条件でもない ここから高難易度 /* */ ９ x，y は実数とする。次の命題の逆 ! 対偶 ! 裏を述べ，それらの真偽を調べよ。 (1) x 2 ' -x x ' -1 (2) x + y は有理数 x または y は有理数 10 次の命題の真偽を調べよ。ただし，x，y は実数とする。 (1) 方程式 x 2 + x -20=0 は整数の解をもつ。 (2) x + y，xy がともに有理数ならば，x，y はともに有理数である。 11 次の ア ～ ウ に当てはまるものを下の ～ から 1 つずつ選べ。ただし, x，y は実数とする。 -3- (1) x = y であることは，x 2 = y 2 であるための ア 。 (2) xy が有理数であることは，x と y がともに有理数であるための (3) x =0 であることは，x =0 であるための ウ イ 。 。 必要十分条件である 必要条件であるが十分条件ではない 十分条件であるが必要条件ではない 必要条件でも十分条件でもない 12 次の ア ～ エ に当てはまるものを下の ～ から 1 つずつ選べ。 命題 ｢a =0 かつ b =0 ならば，すべての実数 x について ax + b =0 である｣ の逆は ｢ ア ならば， イ である ｣ であり，対偶は ｢ ウ ならば， エ である｣ である。 a =0 かつ b =0 a ' 0 かつ b ' 0 a =0 または b =0 a ' 0 または b ' 0 a ' 0 かつ b =0 a ' 0 または b =0 すべての実数 x について ax + b =0 すべての実数 x について ax + b ' 0 ある実数 x について ax + b =0 ある実数 x について ax + b ' 0 13 に入る用語として最も適当なものを次の ～の中から 1 つずつ (1)～(4) の各 選べ。 偽 真 かつ または 否定 対偶 逆 裏 (対偶の逆) (1) 命題 ｢a =2 ならば『a =1 または a =2』｣ は ア である。 (2) 三角形の 1 つの頂角の大きさ h について，命題 ｢sin h =1 ならば h =90,｣ の イ は ｢h ' 90, ならば sin h ' 1｣ である。 (3) 実数 a，b について，条件 ｢a 2 =1 かつ b =2｣ の否定は ｢『a ' 1 ウ a ' -1』 エ b ' 2｣ である。 -4- (4) 命題 ｢ x <2 ならば x <1｣ は x ) 1｣ は キ オ であるが，この命題の カ ｢ x ) 2 ならば である。 14 実数 a に関する条件 p，q，r を次のように定める。 p：a 2 ) 2a +8 q：a ( -2 または a ) 4 r：a ) 5 (1) 次の ア に当てはまるものを，下の ～ のうちから 1 つ選べ。 q は p であるための ア 。 必要十分条件である 必要条件であるが，十分条件でない 十分条件であるが，必要条件でない 必要条件でも十分条件でもない (2) 条件 q の否定を q，条件 r の否定を r で表す。次の イ ， ウ に当てはまるも のを，下の ～ のうちから 1 つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでも よい。 命題「 p ならば 命題「 ウ イ 」は真である。 ならば p 」は真である。 q かつ r q または r q かつ r q または r 15 コラム 就職試験(SPI)ではこう訊かれる (1)「形あるものは、壊れる」が真であるならば、ア～ウのうち論理的に正しいものはどれ か。すべて答えよ ア 形あるものは、壊れない イ 壊れないものは、形あるものではない ウ 壊れるものは、形あるものである (2)次の条件が確実に正しいとき、論理的にいえることはどれか。すべて答えよ ア 努力するものは報われる イ 野村君は大学受験生である ウ 野村君は努力している A 大学受験生は努力すべきだ -5- B 大学受験生は報われる C 野村君は大学に合格する D 野村君は報われる E 合格するのは野村君である F 合格者は努力している -6- １ s 0 11 真 0 21 偽 ２ s (1) 偽 (2) 真 (3) 偽 (4) 偽 ３ s 0 11 真 0 21 偽 ４ s (1) 真 (2) 偽 ５ s 0 11 ② 0 21 ③ ６ s (1) ② (2) ③ (3) ① ７ s (1) 逆：n は 8 の倍数 n は 4 の倍数，真 対偶：n は 8 の倍数でない (2) n は 4 の倍数でない n は 4 の倍数でない，偽 n は 8 の倍数でない ８ s (ア) (イ) (ウ) (エ) (オ) ９ s (1) 逆：x ' -1 裏：x 2 =-x x 2 ' -x，偽 対偶：x =-1 x = -1 ，偽 (2) 逆：x または y は有理数 対偶：x，y はともに無理数 裏：x + y は無理数 x 2 = -x，真 x + y は有理数，偽 x + y は無理数，偽 x，y はともに無理数，偽 10 s (1) 真 (2) 偽 11 s (ア) (イ) (ウ) 12 s (ア) (イ) (ウ) (エ) 13 s (ア) (イ) (ウ) (エ) (オ) (カ) (キ) -7- 14 s (ア) (イ) (ウ) 15 (1) イ (2) D -8- １ 0 11 a =0 のとき ab =0 ･ b =0 よって，命題 ｢a =0 ならば ab =0 である｣ は真である。 0 21 a =1，b =-1，c =0 とすると ac =1 ･ 0=0，bc = 0 -11 ･ 0=0 となり，ac = bc を満たすが，a = b は満たさない。 よって，命題 ｢ac = bc ならば a = b である｣ は偽である。 ２ (1) x =1，y =-1 とすると， x =1， y =1 であるから x = y を満たすが x ' y よって，命題 ｢ x = y ならば x = y である｣ は偽である。 (2) x =2 のとき 2 2 -5 ･ 2+6=0 よって，命題 ｢x =2 ならば x 2 -5x +6=0 である｣ は真である。 (3) m =2，n =3 とすると，m，n はともに素数であるが m + n =5 (奇数) よって，命題 ｢m，n がともに素数ならば m + n は偶数である｣ は偽である。 (4) n =3 とすると，n は 3 の倍数であるが，9 の倍数でない。 よって，命題 ｢n が 3 の倍数ならば n は 9 の倍数である｣ は偽である。 ３ 0 11 2x +4 ( 0 を変形すると 2x ( -4 したがって x ( -2 よって，P = 6 x｜x < -37 ，Q = 6 x｜2x +4 ( 07 とおくと Q Q = 6 x｜x ( -27 右の図より，PWQ が成り立つから，命題は真 P である。 -2 x 1 2 x -3 0 21 18 の正の約数全体の集合を P，24 の正の約数全体の集合を Q とする。 18=2 ･ 3 2, 24= 2 3 ･ 3 であるから P = 6 1, 2, 3, 6, 9, 187 Q = 6 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 247 よって，PWQ は成り立たないから，命題は偽である。 ４ (1) 2x -4<0 を解くと x <2 よって，P = 6 x｜ -1< x <17 ，Q = 6 x｜2x -4 <07 とお Q P くと Q = 6 x｜x <27 -1 右の図より，PWQ が成り立つから，与えられた命題は 真である。 (2) x >2 を解くと x <-2，2< x また，3x +1 ( 0 から 3x ( -1 ゆえに x ( よって，P = 6 x｜ x >27 ，Q = 6 x｜3x +1 ( 07 とおくと -9- 1 3 P = 6 x｜x <-2，2 < x7 > Q = x x ( - 1 3 ? Q P 右の図より，PWQ は成り立たないから，与えられた命 P -2 - 1 3 題は偽である。 ５ 2 0 11 x -6x +8=0 を解くと，0 x -21 0 x -41 =0 から x =2, 4 よって，p q は偽である。0 反例：x =21 また，x =4 ならば，4 2 -6 ･ 4+8=0 であるから，q p は真である。 よって，p は q であるための必要条件であるが，十分条件 ではない (②)。 0 21 p また， q q は真である。 p は偽である。0 反例：右のような四角形1 よって，p は q であるための十分条件であるが，必要条件ではない (③)。 ６ 前者の条件を p，後者の条件を q とする。 (1) x =-1，y =-1 とすると，xy =1 を満たすが x ' 1，y ' 1 よって，p q は偽である。 一方，x =1 かつ y =1 ならば xy =1 ゆえに，q p は真である。 したがって，p は q であるための必要条件であるが，十分条件ではない (②)。 (2) x >0 かつ y >0 ならば xy >0 よって，p q は真である。 一方，x =-1，y =-1 とすると，xy =1 となり，xy >0 を満たすが x <0，y <0 ゆえに，q p は偽である。 したがって，p は q であるための十分条件であるが，必要条件ではない (③)。 (3) p q について AB=BC=CA ならば，△ABC は正三角形であるから 4A= 4B= 4C 0 =60,1 よって，p q は真である。 一方，q p について 4A= 4B= 4C ならば，△ABC は正三角形であるから AB=BC=CA ゆえに，q p は真である。 したがって，p は q であるための必要十分条件である (①)。 -10- 2 x ７ (1) 逆は n は 8 の倍数 n は 4 の倍数 n が 8 の倍数であるとき，n =8k (k は整数) と表され n =4 ･ 2k ここで，2k は整数であるから，n は 4 の倍数である。 よって，逆は真である。 また，｢n は 4 の倍数｣ の否定は ｢n は 4 の倍数でない｣ ｢n は 8 の倍数｣ の否定は ｢n は 8 の倍数でない｣ よって，対偶は n は 8 の倍数でない n は 4 の倍数でない これは偽である。(反例：n =4) (2) 裏は n は 4 の倍数でない n は 8 の倍数でない ８ (1) p ：a 2 + b 2 ) 10 ， q：a ) 1 かつ b ) 3 よって，p q の対偶 q p は a ) 1 かつ b ) 3 a 2 + b 2 ) 10 ゆえに (ア) (イ) また，a ) 1 かつ b ) 3 より a 2 ) 1 かつ b 2 ) 9 であるから， q p p は真であり， q も真である。() (2) 命題「q p」の反例は，q が成り立ち p が成り立たないものである。 条件 q 条件 p a = 3，b = 4 % % a = 2，b = 1 ○ ○ a = -1，b = 0 ○ ○ a = -1，b = -4 ○ % ○：成り立つ %：成り立たない よって，反例は a =-1 ，b =-4 () ゆえに，p q は真，q p は偽であるから，q は p であるための，必要条件であ るが，十分条件ではない。() ９ (1) 逆は x ' -1 x 2 ' -x これは偽である。(反例：x =0) また，x 2 ' -x の否定は x 2 =-x x ' -1 の否定は x =-1 x 2 = -x よって，対偶は x =-1 x =-1 であるとき x 2 = 0 -1 1 2 =1 ，-x =-0 -1 1 =1 ゆえに x 2 =-x したがって，対偶は真である。 さらに，裏は x 2 =-x x = -1 これは偽である。(反例：x =0) (2) 逆は x または y は有理数 x + y は有理数 これは偽である。(反例：x = U 2 ，y =0) -11- また，x + y は有理数 の否定は x + y は無理数 x または y は有理数 の否定は x，y はともに無理数 よって，対偶は x，y はともに無理数 x + y は無理数 これは偽である。(反例：x = U 2 ，y =-U 2 ) さらに，裏は x + y は無理数 x，y はともに無理数 これは偽である。(反例：x = U 2 ，y =0) 10 (1) x 2 + x -20=0 のとき 0 x -4 10 x +5 1 =0 よって x =4 ，-5 (整数) ゆえに，命題 ｢方程式 x 2 + x -20=0 は整数の解をもつ｣ は真である。 (2) x =U 2 ，y =-U 2 のとき x + y =0 ，xy =-2 よって，x + y，xy はともに有理数であるが，x，y はともに有理数ではない。 ゆえに，命題 ｢x + y，xy がともに有理数ならば，x，y はともに有理数である｣ は偽 である。 11 x 2 = y 2｣ は真。 (1) ｢x = y また，｢x 2 = y 2 x = y｣ は偽。(反例：x =2 ，y =-2) よって，十分条件であるが必要条件ではない。 ゆえに ア (2) ｢xy が有理数 x と y がともに有理数｣は偽。(反例：x = U 2 ，y =-U 2 ) また，｢x と y がともに有理数 xy が有理数｣ は真。 よって，必要条件であるが十分条件ではない。 ゆえに イ (3) ｢ x = 0 x = 0｣ は真。 また，｢x = 0 x = 0｣ は真。 よって，必要十分条件である。 ゆえに ウ 12 ｢a =0 かつ b =0 ならば，すべての実数 x について ax + b =0 である｣ の逆は ｢すべての実数 x について ax + b =0 ならば，a =0 かつ b =0 である ｣ ア すなわち ｢ ならば，イ である｣ ｢a =0 かつ b =0 ｣ の否定は｢a ' 0 または b ' 0 ｣ また，｢すべての実数 x について ax + b =0 ｣ の否定は｢ある実数 x について ax + b ' 0 ｣ よって，対偶は｢ある実数 x について ax + b ' 0 ならば，a ' 0 または b ' 0 である｣ ウ すなわち ｢ ならば，エ である｣ 13 (1) 条件 ｢a =2 ｣，｢a =1 または a =2 ｣ を表す集合をそれぞれ P，Q とおくと，PWQ が 成り立つから，命題は真。 (2) ｢sin h =1 ならば h =90, ｣ の対偶は｢h ' 90, ならば sin h ' 1 ｣ -12- (3) ｢a 2 =1 かつ b =2 ｣ は｢『a =1 または a =-1 』かつ b =2 ｣ と同値であるから，その否定は，｢『a ' 1 かつ a ' -1 』または b ' 2 ｣ となる。 (4) ｢ x <2 ｣ は ｢-2< x <2 ｣ と同値。 ｢ x <1 ｣ は ｢-1< x <1 ｣ と同値。 よって，この命題は偽である。 また，｢ x ) 2 ｣ は ｢x ( -2 または x ) 2 ｣ と同値。 ｢ x ) 1 ｣ は ｢x ( -1 または x ) 1 ｣ と同値。 よって，与えられた命題の裏は真である。 14 (1) 条件 p :a 2 ) 2a +8 を整理すると 0 a +2 10 a -4 1 ) 0 よって a ( -2，4 ( a ゆえに，p と q は同値である。 したがって，q は p であるための必要十分条件である。0 ア 1 (2) 条件 q の否定 q ，条件 r の否定 r はそれぞれ q ：-2< a <4 ， r ：a <5 とな る。 よって， ～ が表す範囲を数直線を用いて表すと次の図のようになる。 q かつ r q または r -2 4 5a 4 5a -2 q かつ r q または r -2 4 5 a 4 5 a -2 (イ) 条件 p を満たす実数 a 全体の集合を P，条件 (イ) を満たす実数 a 全体の集合を S とすると，命題が真であることは PWS と同値である。 よって，集合 S の満たす条件は q または r イ 0 1 (ウ) (イ) と同様にして，条件 (ウ) を満たす実数 a 全体の集合を T とすると，命題が真 であることは TWP と同値である。 よって，集合 T の満たす条件は q かつ r 0 15 -13- ウ 1
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