行列の階数と連立方程式・逆行列の計算

行列の階数と連立方程式・逆行列の計算
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定理 (解の存在条件) 連立 1 次方程式 Ax = b が解を持つ ⇐⇒ rankA = rank(A b)
定理 (解の自由度) 未知数が n 個の連立 1 次方程式 Ax = b において，
(1) Ax = b がただ 1 組の解を持つ ⇐⇒ n = rankA = rank(A b)
(2) Ax = b が無数の解を持つ ⇐⇒ n > rankA = rank(A b)
※ Ax = b の全ての解を表すのに必要な任意定数の個数 n − rankA を連立方程式 Ax = b の解
の自由度という。
【9−1】次の連立 1 次方程式を解け。


x − y + 2z + 3w = 0
(1) 3x + y − 6z + 3w = 1


3x + 5y − 18z − 3w = 2


2x + 3y − z + 3w = 0



−x + y + 3z − 7w = 0
(2)

5x + 7y − 3z + 8w = 0



3x + 4y − 2z + 5w = 0
【9−2】(行に関する基本変形) 次の行列の積を計算せよ．



1 0 0
a b c
(1) 0 3 0d e f 
0 0 1
g h i



0 0 1
a b c
(2) 0 1 0d e f 
1 0 0
g h i



1 0 0
a b c
(3) 0 1 0d e f 
0 4 1
g h i
定理
A が正則ならば, 行 (あるいは列) に関する基本変形だけで A を単位行列に変形することができる.
逆も正しい.
【9−3】次の行列の逆行列を求めよ。


2 −1 1
(1) 1 2 −4
2 0
3

1 1 −1 1
2 −1 3 1

(2) 
1 1
0 1
3 2
2 2

補充問題
【9−4】次の行列 X の階数を求めよ.

1
x
X=
x
x
{
【9−5】
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0
a21 xx + a22 x2 + a23 x3 = 0
a
11 a12
かつ a21 a22
x
1
x
x
x
x
1
x

x
x
.
x
1
̸= 0.
このとき x3 ̸= 0 となる解に対して, x1 : x2 : x3 を求めよ.
【9−6】次の行列 A の階数を求めよ.


a b c
X =  c a b .
b c a

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