(2) a - SUUGAKU.JP

1
4
数列 fan g は
a1 = 5;
2
2
a1 +a2 +Ý+an
2
2
=
a a
3 n n+1
大小 2 つのさいころを投げ，大きいさいころの出
た目を a，小さいさいころの出た目を b とする．
(n = 1; 2; 3; Ý)
a; b に対し，xy 平面上の曲線 y = x3 ¡ ax を
C とし，C を x 軸の正の方向に b だけ平行移動
をみたすとする．次の問いに答えよ．
した曲線を D とする．次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 を求めよ．
(2) an+2 を an ; an+1 を用いて表せ．
(1) C と D が異なる 2 点で交わる確率を求めよ．
(2) C と D が異なる 2 点で交わり，かつ，その 2 点
(3) 一般項 an を求めよ．
を通る直線の傾きが正である確率を求めよ．
（横浜国立大学 2016 ）
（横浜国立大学 2015 ）
2
実数 a; b に対し，関数
f(x) = x4 + 2ax3 + (a2 + 1)x2 ¡ a3 + a + b
がただ 1 つの極値をもち，その極値が 0 以上に
なるとする．次の問いに答えよ．
(1) a; b のみたす条件を求めよ．
(2) a; b が (1) の条件をみたすとき，a ¡ 2b の最
大値を求めよ．
（横浜国立大学 2016 ）
3
¡!
¡
! ¡!
¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，
¡!
¡
!
OC = c とする．三角形 ABC の重心を G と
¡!
¡
! ¡!
¡
!
する．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，
¡!
¡!
OP = 6OG をみたす点とし，平面 ADE と直線
OP の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積
S2
を求めよ．
を S2 とするとき，
S1
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の
V2
体積を V2 とするとき，
を求めよ．
V1
（横浜国立大学 2016 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) 2 次関数 f(x) が
Z1
2
f(x) = 6x ¡ $
f(t) dt<
2
0
をみたすとき，f(x) を求めよ．
(2) 2 次関数 g(x) が
Z
g(x) = 4x ¡ $
2
2
1
0
g(t) dt<
をみたすとき，g(x) を求めよ．
（横浜国立大学 2015 ）
6
点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形
8
O を原点とする座標空間に，4 点
ABC があり，
A(¡2; 1; 3);
B(s; 3; ¡1);
¡!
¡!
¡! ¡
!
2OA + 3OB + 4OC = 0
C(1; 3; 4);
D(t; 2t; 2
をみたしている．この円上に点 P があり，線分
がある．ただし，s; t は実数で t Ë 0 である．A
¡!
¡!
を通り OC に平行な直線と，B を通り OD に平
AB と線分 CP は直交している．次の問いに答
行な直線が点 P で交わるとする．次の問いに答
えよ．
えよ．
¡! ¡!
¡!
(1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ．
(1) s の値および P の座標を求めよ．
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，
AH : HB を求めよ．
以下では 4PAB ∽ 4OCD を仮定する．
(2) t の値を求めよ．
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ．
(3) D から平面 PAB に下ろした垂線を DH とする
とき，H の座標を求めよ．
（横浜国立大学 2015 ）
（横浜国立大学 2014 ）
9
r を 0 < r < 1 をみたす定数とする．数列 fan g
に対して
Sn =
7
a; b を実数とする．xy 平面上の曲線 C : y =
n
P
(¡1)k¡1 rak
k=1
(n = 1; 2; 3; Ý)
x3 + ax2 + x ¡ 2 と直線 ` : y = bx ¡ 2 が異な
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実
る 3 点で交わるとき，次の問いに答えよ．
数 x に対して，[x] は l 5 x < l + 1 をみたす整
(1) a; b の条件を求めよ．
(2) 3 つの交点それぞれにおける C の接線の中に，
傾きが 1 より大きいものと，1 より小さいものが
どちらも存在するための a; b の条件を求め，そ
の条件をみたす ab 平面上の点 (a; b) の範囲を
図示せよ．
数 l を表す．
(1) 数列 fan g を an = n
— で定めるとき，S2n を
2
(2) 数列 fan g を an = n
— で定めるとき，S3n を
3
r と n の式で表せ．
r と n の式で表せ．
(3) a1 = 0，an 5 an+1 5 an + 1
（横浜国立大学 2014 ）
(n =
1; 2; 3; Ý) および S2014 = 0 をみたす数列
2014
P ak
fan g のうち，
r を最小にする数列 fan g の
k=1
第 2014 項を求め，そのときの最小値を r の式で
表せ．
（横浜国立大学 2014 ）
10 実数 a; x; y; z が
x+y+z=a
Y x2 + y2 + z2 = a2 ¡ 2a + 14
x3 + y3 + z3 = a3 ¡ 3a2 + 3a + 18
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1) xy + yz + zx および xyz を a の式で表せ．
(2) x; y; z のうち少なくとも 2 つが等しいとき，
a; x; y; z を求めよ．
（横浜国立大学 2013 ）
11 関数 f(x) を
f(x) =
Z
2
0
# t2 ¡ xt +
1
t ¡ 2x ; dt
2
で定める．次の問いに答えよ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) f(x) が最小値をとるときの x の値を求めよ．
（横浜国立大学 2013 ）
12 1 つの整数を表示する装置がある．最初に 2013
が表示されている．さいころを 1 回投げるたび
に次の操作 (¤) を行う．
(¤) 表示されている整数をさいころの出た目の数で
割った余り r を求め，装置に r を表示させる．
さいころを n 回投げたとき，最後に装置に表示
されている整数が 0 である確率を an ，1 である
確率を bn ，3 である確率を cn とする．次の問い
に答えよ．
(1) a1 ; b1 ; c1 を求めよ．
(2) an ; bn ; cn を an¡1 ; bn¡1 ; cn¡1 を用いて表せ．
(3) an ; bn ; cn を n の式で表せ．
（横浜国立大学 2013 ）

Download Report