1 4 数列 fan g は a1 = 5; 2 2 a1 +a2 +Ý+an 2 2 = a a 3 n n+1 大小 2 つのさいころを投げ,大きいさいころの出 た目を a,小さいさいころの出た目を b とする. (n = 1; 2; 3; Ý) a; b に対し,xy 平面上の曲線 y = x3 ¡ ax を C とし ,C を x 軸の正の方向に b だけ平行移動 をみたすとする.次の問いに答えよ. した曲線を D とする.次の問いに答えよ. (1) a2 ; a3 を求めよ. (2) an+2 を an ; an+1 を用いて表せ. (1) C と D が異なる 2 点で交わる確率を求めよ. (2) C と D が異なる 2 点で交わり,かつ,その 2 点 (3) 一般項 an を求めよ. を通る直線の傾きが正である確率を求めよ. ( 横浜国立大学 2016 ) ( 横浜国立大学 2015 ) 2 実数 a; b に対し,関数 f(x) = x4 + 2ax3 + (a2 + 1)x2 ¡ a3 + a + b がただ 1 つの極値をもち,その極値が 0 以上に なるとする.次の問いに答えよ. (1) a; b のみたす条件を求めよ. (2) a; b が (1) の条件をみたすとき,a ¡ 2b の最 大値を求めよ. ( 横浜国立大学 2016 ) 3 ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 四面体 OABC があり,OA = a ,OB = b , ¡! ¡ ! OC = c とする.三角形 ABC の重心を G と ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! する.点 D,E,P を OD = 2 b ,OE = 3 c , ¡! ¡! OP = 6OG をみたす点とし ,平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする.次の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ. (2) 三角形 ADE の面積を S1 ,三角形 QDE の面積 S2 を求めよ. を S2 とするとき, S1 (3) 四面体 OADE の体積を V1 ,四面体 PQDE の V2 体積を V2 とするとき, を求めよ. V1 ( 横浜国立大学 2016 ) 5 次の問いに答えよ. (1) 2 次関数 f(x) が Z1 2 f(x) = 6x ¡ $ f(t) dt< 2 0 をみたすとき,f(x) を求めよ. (2) 2 次関数 g(x) が Z g(x) = 4x ¡ $ 2 2 1 0 g(t) dt< をみたすとき,g(x) を求めよ. ( 横浜国立大学 2015 ) 6 点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 8 O を原点とする座標空間に,4 点 ABC があり, A(¡2; 1; 3); B(s; 3; ¡1); ¡! ¡! ¡! ¡ ! 2OA + 3OB + 4OC = 0 C(1; 3; 4); D(t; 2t; 2 をみたしている.この円上に点 P があり,線分 がある.ただし,s; t は実数で t Ë 0 である.A ¡! ¡! を通り OC に平行な直線と,B を通り OD に平 AB と線分 CP は直交している.次の問いに答 行な直線が点 P で交わるとする.次の問いに答 えよ. えよ. ¡! ¡! ¡! (1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ. (1) s の値および P の座標を求めよ. (2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, AH : HB を求めよ. 以下では 4PAB ∽ 4OCD を仮定する. (2) t の値を求めよ. (3) 四角形 APBC の面積を求めよ. (3) D から平面 PAB に下ろした垂線を DH とする とき,H の座標を求めよ. ( 横浜国立大学 2015 ) ( 横浜国立大学 2014 ) 9 r を 0 < r < 1 をみたす定数とする.数列 fan g に対して Sn = 7 a; b を実数とする.xy 平面上の曲線 C : y = n P (¡1)k¡1 rak k=1 (n = 1; 2; 3; Ý) x3 + ax2 + x ¡ 2 と直線 ` : y = bx ¡ 2 が異な とする.次の問いに答えよ.ただし以下では,実 る 3 点で交わるとき,次の問いに答えよ. 数 x に対して,[x] は l 5 x < l + 1 をみたす整 (1) a; b の条件を求めよ. (2) 3 つの交点それぞれにおける C の接線の中に, 傾きが 1 より大きいものと,1 より小さいものが どちらも存在するための a; b の条件を求め,そ の条件をみたす ab 平面上の点 (a; b) の範囲を 図示せよ. 数 l を表す. (1) 数列 fan g を an = n — で定めるとき,S2n を 2 (2) 数列 fan g を an = n — で定めるとき,S3n を 3 r と n の式で表せ. r と n の式で表せ. (3) a1 = 0,an 5 an+1 5 an + 1 ( 横浜国立大学 2014 ) (n = 1; 2; 3; Ý) および S2014 = 0 をみたす数列 2014 P ak fan g のうち, r を最小にする数列 fan g の k=1 第 2014 項を求め,そのときの最小値を r の式で 表せ. ( 横浜国立大学 2014 ) 10 実数 a; x; y; z が x+y+z=a Y x2 + y2 + z2 = a2 ¡ 2a + 14 x3 + y3 + z3 = a3 ¡ 3a2 + 3a + 18 を満たすとき,次の問いに答えよ. (1) xy + yz + zx および xyz を a の式で表せ. (2) x; y; z のうち少なくとも 2 つが等しいとき, a; x; y; z を求めよ. ( 横浜国立大学 2013 ) 11 関数 f(x) を f(x) = Z 2 0 # t2 ¡ xt + 1 t ¡ 2x ; dt 2 で定める.次の問いに答えよ. (1) f(x) を求めよ. (2) f(x) が最小値をとるときの x の値を求めよ. ( 横浜国立大学 2013 ) 12 1 つの整数を表示する装置がある.最初に 2013 が表示されている.さいころを 1 回投げるたび に次の操作 (¤) を行う. (¤) 表示されている整数をさいころの出た目の数で 割った余り r を求め,装置に r を表示させる. さいころを n 回投げたとき,最後に装置に表示 されている整数が 0 である確率を an ,1 である 確率を bn ,3 である確率を cn とする.次の問い に答えよ. (1) a1 ; b1 ; c1 を求めよ. (2) an ; bn ; cn を an¡1 ; bn¡1 ; cn¡1 を用いて表せ. (3) an ; bn ; cn を n の式で表せ. ( 横浜国立大学 2013 )
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