x > 1 - SUUGAKU.JP

1
f(x) =
3
1
x+
とする．このとき，次の問いに答えよ．
4
4x3
(1) x > 1 のとき，f(x) > 1 となることを示せ．
(2) x > 1 のとき，関数
g(x) =
f(x) ¡ 1
x¡1
は増加関数であることを示せ．
(3) lim g(x)， lim g(x) の値を求めよ．
x!1+0
x!1
(4) 数列 fxn g を漸化式
x1 = 2;
xn+1 = f(xn )
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定めるとき， lim xn = 1 を示せ．
n!1
（富山大学 2013 ）
2
f(x) = log x (x > 0) とし，曲線 C1 : y = f(x) 上の点 (t; f(t)) における接線を ` とする．直線 ` と
p 2
曲線 C2 : y = (x ¡ 2) で囲まれた図形の面積を S とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) S を t を用いて表せ．
(2) S を最小にする t の値を求めよ．ただし，そのときの S の値は求めなくてよい．
（富山大学 2015 ）
3
関数 f(x) は区間 [a; b] で連続であり，区間 (a; b) で第 2 次導関数 f00 (x) をもつとする．さらに，区間
(a; b) で f00 (x) < 0 が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
1
f(b ¡ x)f(a) + (x ¡ a)f(b)g (a < x < b) が成り立つことを示せ．
b¡a
(2) c が a < c < b を満たすならば
(1) f(x) >
f(x) 5 f0 (c)(x ¡ c) + f(c)
(a < x < b)
が成り立つことを示せ．
（富山大学 2015 ）
4
微分可能な関数 f(x) と 2 つの定数 p; q が次の条件を満たすとする．
「すべての実数 x; y に対して，f(x + y) = pf(x) + qf(y) が成り立つ」
このとき，次の問いに答えよ．
(1) f(0) Ë 0 とする．
‘ p + q = 1 であることを示せ．
’ f(x) は定数関数であることを示せ．
(2) f(0) = 0 で f(x) が定数関数でないとする．
‘ p = 1 であることを示せ．
’ a = f0 (0) とするとき，f(x) を a を用いて表せ．
（富山大学 2014 ）
5
1
f(x) = (1 + x) x (x > 0) とするとき，次の問いに答えよ．
(1) log f(x) を微分することによって，f(x) の導関数を求めよ．
(2) 0 < x1 < x2 をみたす実数 x1 ; x2 に対して，f(x1 ) > f(x2 ) であることを証明せよ．
100 99
101 101
; と#
; の大小を比較せよ．
(3) #
100
99
（富山大学 2010 ）
6
次の問いに答えよ．
(1) 定積分
p
Z
3
2
0
2
B x
dx の値を求めよ．
1 ¡ x2
(2) 3 以上の整数 n に対して，不等式
Z
0
p
3
2
2
¼
p x
dx <
6
1 ¡ xn
が成り立つことを示せ．
（富山大学 2016 ）
7
¼
¼
; と曲線 C2 : y = 2 sin x #0 5 x <
; を考える．曲線 C1 と曲線
2
2
C2 で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ．
曲線 C1 : y = tan x #0 5 x <
（富山大学 2015 ）
8
次の問いに答えよ．
1
(1) x > 0 のとき，不等式 log x > ¡ p が成り立つことを示せ．
x
2
(2) f(x) = x log x (x > 0) とおく． lim f(x) = 0 を示せ．
x!+0
(3) f(x) の増減および凹凸を調べ，y = f(x) のグラフの概形をかけ．
Z2
f(x) dx (t > 0) とおく．このとき， lim I(t) を求めよ．
(4) I(t) =
t
t!+0
（富山大学 2014 ）
9
次の問いに答えよ．
(1) 0 5 x 5 ¼ の範囲で方程式 cos 2x ¡ cos x = 0 の解を求めよ．
(2) 0 5 x 5 ¼ の範囲で 2 つの曲線 y = cos 2x と y = cos x で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(3) (2) の図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ．
（富山大学 2014 ）
10 関数 f(x) と g(x) を
f(x) = X
x log x
0
(x Ë 0)
(x = 0)
g(x) = ¡x2 + 1
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
1
(1) x > 0 のとき，不等式 log x > ¡ p が成り立つことを示し，これを用いて f(x) は x = 0 で連続であ
x
ることを示せ．
(2) f(x) の極値を求め，y = f(x) のグラフの概形をかけ．
(3) 方程式 f(x) = g(x) の解は x = ¡1; 1 のみであることを示せ．
(4) 0 < r < 1 とする．曲線 y = f(x) と曲線 y = g(x) によって囲まれた図形のうち，x = r の範囲の部分
の面積を S(r) とおく．このとき， lim S(r) を求めよ．
r!+0
（富山大学 2014 ）

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