線形代数演習 I 小テスト

線形代数演習 I 小テスト
担当：古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 20 日実施
学籍番号
氏名
(
問題
行列
1
2
)
−2 −4
が定める R2 から R2 への線形写像を f とおく．次の問いに答えよ．
(1) f は全射でも単射でもないことを示せ．
(2) f の核を求めよ．
線形代数学演習 I
古宇田悠哉
平成 28 年 7 月 20 日配布
11
同値関係
• 集合 X に対し，直積集合 X × X の部分集合 R のことを X 上の関係とよぶ．x, y ∈ X が
(x, y) ∈ R をみたすとき，x と y は関係 R を満たすといい，xRy と表す．
• 集合 X 上の関係 ∼ が次の性質を満たすとき，この関係 ∼ を X 上の同値関係とよぶ．
1. x ∼ x
(反射律)
2. x ∼ y ならば y ∼ x
(対称律)
3. x ∼ y かつ y ∼ z ならば x ∼ z
(推移律)
• ∼ を集合 X 上の同値関係とする．X の元 x, y が x ∼ y を満たすとき，x と y は同値であると
いう．X の元 x と同値な X の要素全体の集合 C(x) := {y ∈ X | x ∼ y} を x の同値類とよぶ．
• n 次正方行列全体の集合を Mn (R) と表す．A ∈ Mn (R) に対し，AX = XA = E を満
たす行列
が存在するとき，X を A の逆行列とよび，A−1 と表す．ただし，
 X ∈ Mn (R) 
1


0
E := 
.
 ..

0
1
..
.
···
..
.
..
.
···
0
0
0

.. 
.
 である．(これを (n 次) 単位行列とよぶ)．A の逆行列が存在すると

0

1
き，A は正則であるという．
黒板発表用問題
1. R 上に次のように定められた関係 R が反射律，対称律，推移律を満たすか確かめよ．
(1) xRy
⇔ x≤y
(2) xRy
⇔ |x − y| ≤ 1
(3) xRy
⇔
|x − y| = 1
2. ∼ を集合 X 上の同値関係とする．x ∈ C(y) ならば，C(x) = C(y) であり，逆に x ∈
/ C(y) な
らば，C(x) ∩ C(y) = ∅ が成り立つことを示せ．
(ヒント：「x ∈ C(x)」，「x ∈ C(y) ならば，y ∈ C(x)」が成り立つ．)
3. X, Y を集合とし，f : X → Y を写像とする．X 上の関係 ∼ を次で定める：
x ∼ y ⇔ f (x) = f (y).
(1) ∼ は X 上の同値関係であることを示せ．
(2) f が単射であるとき，X の同値類の集合から，X への全単射を構成せよ．
(3) f が全射であるとき，X の同値類の集合から，Y への全単射を構成せよ．
4. Mn (R) 上の関係 ∼ を次で定める:
A ∼ B ⇔ ある正則行列 P ∈ Mn (R) が存在し，B = P −1 AP と表される．
(1) ∼ は Mn (R) 上の同値関係であることを示せ．
(2) n = 2 とする．A ∼ B であるとき，det A = det B が成り立つことを示せ．(コメント：実
は，一般の n 次正方行列 A に対しても行列式 det A が定義されて，同じことが成り立つ．)


a1n
.. 

.  ∈ Mn (R) に対し，tr A := a11 + a22 + · · · + ann とお
an1 · · · ann
く．(これを行列 A のトレースとよぶ．)
a11
 .

5. n 次正方行列 A =  ..
···
..
.
(1) A, B ∈ Mn (R) に対して，tr (AB) = tr (BA) が成り立つことを示せ．
(2) Mn (R) 上の同値関係 ∼ を問題 4 と同じものとする．A ∼ B であるとき，tr A = tr B が成
り立つことを示せ．

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