(P.1-P.6)ー統計力学1の復習ー

2015 年後期統計力学２演習 (担当：吉岡)
本授業を受講する際の注意等
• 毎回出席をとります。
• 成績は (出席点 30 点)+(黒板で解いた問題やレポート、60 点)+(質問・コメントなど
議論への参加度、10 点) の合計で付けます。
• 本演習中に講義の補足をすることが多々あるので、対応する講義の「統計力学２」
を必ず同時に受講して下さい。
予定している内容
1. 統計力学１の復習
(a) ミクロカノニカル分布とカノニカル分布
(b) 古典統計力学
2. 低温と量子効果
3. 開いた系と化学ポテンシャル
4. フェルミ統計とボーズ統計
5. ２次の相転移
これからは、http://goofy.phys.nara-wu.ac.jp/˜yoshioka/education-15.html に演習問題を
pdf ファイルでアップロードする予定です。
1
—統計力学１の復習—
1. 分配関数 Z を用いて、平均エネルギー ⟨E⟩ はどのように表されるか。また、以下の
式を証明せよ。
d
⟨E⟩ = −⟨(E − ⟨E⟩)2 ⟩
dβ
d2
⟨E⟩ = ⟨(E − ⟨E⟩)3 ⟩
dβ 2
(1)
(2)
ただし、β = 1/(kB T ) である。さらに、式 (1) を使って、熱容量 C をエネルギーの
揺らぎ ⟨(E − ⟨E⟩)2 ⟩ を用いて表せ。
2. N 個の独立な一次元調和振動子 (角振動数：ω) からなる系がある。一個の調和振動
子のエネルギー固有値は
(
)
1
En = n +
h̄ω
(n = 0, 1, 2, · · · )
(3)
2
で与えられる。以下の問いに答えよ。
(a) まずミクロカノニカル分布を使って、その熱的性質を議論する。
i. 系全体のエネルギーを E = M h̄ω + N h̄ω/2 とする。取りうる状態の数
WN (E) を求めよ。
ii. エントロピー S を求めよ。ただし、N ≫ 1、M ≫ 1 としてスターリング
の公式を用いよ。
∂S
1
iii.
= を用いて、エネルギーを温度 T の関数として求めよ。また、その
∂E
T
結果を用いて、エントロピー S を温度 T の関数として求めよ。
(b) 次に、カノニカル分布の方法を用いる。
i. 一個の調和振動子の分配関数 z1 を求めよ。
ii. 系全体の分配関数 Z が Z = z1N であることを用いて、ヘルムホルツの自由
エネルギー F を求めよ。
iii. エネルギー E を求め、ミクロカノニカル分布の方法を用いて得られた結果
と比較せよ。 ∂F
iv. エントロピー S = −
を温度 T の関数として求め、ミクロカノニカル分
∂T
布の方法を用いて得られた結果と比較せよ。
2
3. 磁場の方向に磁気モーメント ±µ を持ち得る N 個の原子が、温度 T の熱浴と接して
熱平衡状態にある。磁場の大きさを B として以下の問いに答えよ。
(a) まずミクロカノニカル分布を使って、その熱的性質を議論する。
i. 磁気モーメントが +µ となっている原子の数を N+ 、−µ となっている原子
の数を N− とする。系全体のエネルギー E を N+ 、N− を用いて表せ。また
取りうる状態の数 WN (E) を求めよ。
ii. エントロピー S を求めよ。ただし、スターリングの公式を用いよ。
∂S
1
iii.
= を用いて、エネルギーを温度 T の関数として求めよ。
∂E
T
(b) 次に、カノニカル分布の方法を用いる。
i. 一個の原子の分配関数 z1 を求めよ。
ii. 系全体の分配関数 Z が Z = z1N であることを用いて、ヘルムホルツの自由
エネルギー F を求めよ。
iii. エネルギー E を求め、ミクロカノニカル分布の方法を用いて得られた結果
と比較せよ。
(c) 磁化 M を磁場 B の関数としてもとめ、図示せよ。
(d) 磁化率 χ = ∂M/∂B|B=0 を求めよ。
4. ミクロカノニカル分布の方法を用いて、体積 V の容器の中に閉じ込められた N 個
の自由粒子からなる理想気体のエントロピー S がエネルギー E の関数として、
}
{
4πmE
V
5
3
S(E) = N kB
log
+ log +
(4)
2
3(2πh̄)2 N
N
2
と表されることを示せ。必要ならば、以下の事項を用いよ。
• 半径 R の n 次元球の体積
Vn (R) =
1 2π n/2 n
R
n Γ(n/2)
• ガンマ関数 Γ(z) の漸近展開 (|z| ≫ 1)
Γ(z) ∼ z log z − z
3
5. 式 (4) で与えられる理想気体のエントロピーを用いて、以下の問いに答えよ。
(a) エネルギー E を温度 T の関数として求めよ。
(b) エントロピー S を温度 T の関数として求めよ。
(c) ヘルムホルツの自由エネルギーを求めよ。
(d) 上記の結果を用いて、状態方程式を得よ。
(e) (b) で求められた S は温度がある特徴的な温度に比べはるかに小さい場合には、
正しい値とはならない。そのような温度を求めよ。また、その結果を物理的に
解釈せよ。
(f) 以下の量を求めよ。
⟨(E − ⟨E⟩)2 ⟩
⟨E⟩2
⟨(E − ⟨E⟩)3 ⟩
⟨E⟩3
(5)
(6)
6. ピストンのついた容器の中に理想気体が入っている。そのエントロピーは式 (4) で
与えられる。容器およびピストンは断熱材でできているものとする。
(a) ピストンを急に引いて体積を 2 倍にした。この過程では気体は仕事をしない。
エントロピーの変化量 ∆S を求めよ。
(b) 次にピストンをゆっくり動かして体積を元に戻した。この時、気体のエネル
ギーはどうなるか。
7. マックスウエル−ボルツマンの分布則では、運動量 p を持つ粒子の平均の数 n(p) は
以下の式で与えられる。
(
)
p2
n(p) ∝ exp −
(7)
2mkB T
以下の問いに答えよ。
(a) 以下の式を満たすように規格化せよ。
N=
∑
p
V
n(p) =
(2πh̄)3
4
∫∫∫
∞
−∞
dpx dpy dpz n(p)
(8)
(b) 粒子一個あたりの平均エネルギーを求めよ。
8. 古典統計力学を用いて、以下の問いに答えよ。
(a) N 個の独立な調和振動子 (角振動数：ω) の分配関数 Z 、ヘルムホルツの自由エ
ネルギー F 、エントロピー S 、内部エネルギー E 、熱容量 C を求めよ。
(b) 体積 V の容器に閉じ込められた N 個の原子 (質量：m) からなる理想気体の、
分配関数 Z 、ヘルムホルツの自由エネルギー F 、エントロピー S 、圧力 p を求
めよ。また、それらの結果を問題５の結果と比較せよ。
9. 自由度が f の系の運動エネルギーが
K=
f
∑
αi p2i
(αi > 0)
(9)
i=1
と書けるとする。この結果と古典統計力学を用いて運動エネルギーの期待値 ⟨K⟩ を
計算することによって、エネルギー等分配則を証明せよ。ただし、ポテンシャルエ
ネルギーは運動量に依存しないものとする。
10. 以下のようなポテンシャル u(x)

 1 kx2
u(x) = 2
∞
(|x| < a)
(10)
(|x| > a)
の中を運動する質量 m の粒子 N 個からなる系がある。この系を古典統計力学を用
いて取扱い、比熱について論ぜよ。
11. 不完全気体のハミルトニアンは以下のように与えられる。
N
∑
∑
p2i
+
v(Rij )
H=
2m
i=1
(11)
(i,j)
ただし、v(R) は粒子間の相互作用を表すポテンシャルであり、図 1 で与えられる。
また、Rij = |ri − rj | である。以下の問いに答えよ。
5
1
v(R)
0
0
1
2
3
R
図 1:
(a) N B/V ≪ 1 として、この系のヘルムホルツの自由エネルギーが
N 2 kB T
B
V
(12)
(
)
d3 R e−v(R)/kB T − 1
(13)
F = F0 +
となることを示せ。ただし、
1
B=−
2
∫
(b) 上で得られたヘルムホルツの自由エネルギーから、ファンデルワールスの状態
方程式
(
)
N2
P + 2 a (V − nb) = N kB T
(14)
V
を導出せよ。
12. ファンデルワールスの状態方程式は、T < Tc で熱力学的に不安定になる。臨界温度
Tc は以下の式によって決定される。 (
)
∂P
=0
(15)
∂V T =Tc
( 2 )
∂ P
=0
(16)
∂V 2 T =Tc
Tc とその時の圧力 Pc および Vc を求めよ。また、p = P/Pc 、v = V /Vc 、t = T /Tc を
用いて状態方程式を書き直せ。
6

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