試験前プリント及び解答

確率論試験前プリント
1. （確率）数直線上の点 0 に動点 P がある。この動点 P は、六面体のサイコロを 1 回投げ、１
の目が出たら −1、2 または 3 の目が出たら 0、4 または 5 または 6 の目が出たら +1 だけ進
むとする。このとき、次の問いに答えよ。
(a) サイコロを 2 回投げたとき、動点 P が点 −2 にいる確率を求めよ。
(b) サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が点 −2 にいる確率を求めよ。
(c) サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が負の点にいる確率を求めよ。
2. （条件付確率）次の問に答えなさい。
(a) P (A) = 0.4, P (B) = 0.5, P (C) = 0.5, P (A∩B) = 0.2, P (A∩C) = 0.2, P (B∩C) = 0.2,
P (A ∩ B ∩ C) = 0.1 のとき、P (B|Ac ), P (Ac |A ∪ B), P (A ∩ B|A ∪ B ∪ C) を求めよ。
(b) 事象 A, B1 , B2 に対して
P (B1 ∪ B2 |A) = P (B1 |A) + P (B2 |A) − P (B1 ∩ B2 |A)
が成り立つことを示せ。
3. （ベイズの定理）壺の中に 5 個の赤球と 3 個の黒球が入っている。ただし、球は色以外は
全く同じものとする。壺から球を 1 つ取り出し、取り出された球の色を確認し、取り出され
た球とともに同色の球を 4 個壺へ戻す。
(a) 2 回目に黒球が出る確率を求めよ。
(b) 2 回目に黒球が出たとき、1 回目が赤球である確率を求めよ。
4. （期待値・分散）確率変数 X が次の確率関数をもつとき、期待値 E(X) と分散 V (X) を
求めよ。

2x


 k(k + 1) (x = 1, 2, 3, . . . , k)
fX (x) =



0
(その他)
5. （積率）確率変数 X の積率母関数が
mX (t) = (1 − t)−3 ,
で与えられているとき、X の積率は E(X k−2 ) =
た、確率変数 X の平均と分散を求めよ。
|t| < 1
k!
, k = 2, 3, 4, . . . であることを示せ。ま
2
6. （不等式）事象 A, B に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
7. （確率分布の再生性）確率変数 X が次の確率関数をもつとき、確率変数 X はパラメータ
λ(> 0), のポアソン分布に従うという。ポアソン分布の積率母関数 mX (t) が
[
]
mX (t) = exp λ(et − 1)
であることを用いて、次のポアソン分布の再生性を示せ。
「確率変数 Xi (i = 1, . . . , k) が互いに独立で、それぞれがパラメータ λi (i = 1, . . . , k) のポ
アソン分布に従うとき、X1 + · · · + Xk はパラメータ λ1 + · · · + λk のポアソン分布に従う。」
確率論試験前プリント解答
1. （確率）
(a) サイコロを 2 回投げたとき、動点 P が点 −2 にいるためには、2 回とも１の目が出なければなら
ないので、求める確率は
1
1
1
× =
6
6
36
(b) サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が点 −2 にいるためには、3 回中「2 または 3 の目」が 1 回、
「１の目」が 2 回出なければならないので、求める確率は
( ) ( )2
3 C1
2
6
1
6
=
1
36
(c) サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が点 −3 にいるためには、3 回とも１の目が出なければなら
ないので
( )3
1
1
=
6
216
サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が点 −1 にいるためには、3 回中「１の目」が 2 回「4 また
は 5 または 6 の目」が 1 回出るか、3 回中「１の目」が 1 回「2 または 3 の目」が 2 回出なけれ
ばならないので
( )2 ( )
( ) ( )2
1
3
1
2
1
1
7
+ 3 C1
=
+
=
3 C2
6
6
6
6
24
18
72
以上から、サイコロを 3 回投げたとき、動点 P が負の点にいる確率は
1
1
7
7
+
+
=
72
36
216
54
2. （条件付確率）
(a)
P (B|Ac )
=
P (Ac |A ∪ B)
=
P (A ∩ B|A ∪ B ∪ C)
=
=
P (B ∩ Ac )
0.5 − 0.2
1
=
=
P (Ac )
1 − 0.4
2
P (Ac ∩ (A ∪ B))
0.3
3
=
=
P (A ∪ B)
0.4 + 0.5 − 0.2
7
P ((A ∩ B) ∩ (A ∪ B ∪ C))
P (A ∪ B ∪ C)
0.2
2
=
0.4 + 0.5 + 0.5 − 0.2 − 0.2 − 0.2 + 0.1
9
(b)
P (B1 ∪ B2 |A)
=
=
=
P (B1 ∪ B2 )
P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 ∩ B2 )
=
P (A)
P (A)
P (B2 )
P (B1 ∩ B2 )
P (B1 )
+
−
P (A)
P (A)
P (A)
P (B1 |A) + P (B2 |A) − P (B1 ∩ B2 |A)
3. （ベイズの定理）壺の中に 5 個の赤球と 3 個の黒球が入っている。ただし、球は色以外は全く同じも
のとする。壺から球を 1 つ取り出し、取り出された球の色を確認し、取り出された球とともに同色の
球を 4 個壺へ戻す。
(a) n 回目に黒球が出る事象を Bn 、 n 回目に赤球が出る事象を Rn とする。また、問題文より
P (B1 ) =
3
,
8
P (R1 ) =
5
8
であることが分かる。いま、求める確率は P (B2 ) であり、事象 B2 が起こるには事象 B2 ∩ B1 ま
たは事象 B2 ∩ R1 が起こらなければならない。また、事象 B2 ∩ B1 と事象 B2 ∩ R1 は互いに排
反であるので
P (B2 )
=
=
P (B2 ∩ B1 ) + P (B2 ∩ R1 ) = P (B2 |B1 )P (B1 ) + P (B2 |R1 )P (R1 )
3
3
5
3
7
× +
× =
12
8
12
8
8
(b)
P (R1 |B2 )
=
P (R1 ∩ B2 )
P (B2 |R1 )P (R1 )
=
=
P (B2 )
P (B2 )
3
12
×
3
8
5
8
=
5
12
4. （期待値・分散）
E(X)
=
k
∑
x·
x=1
E(X 2 )
=
k
∑
k(k + 1)(2k + 1)
2x
2
1
=
·
= (2k + 1)
k(k + 1)
k(k + 1)
6
3
x2 ·
x=1
k2 (k + 1)2
k(k + 1)
2x
2
=
·
=
k(k + 1)
k(k + 1)
4
2
であるので V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2 =
k(k + 1)
−
2
{
1
(2k + 1)
3
}2
=
(k + 2)(k − 1)
18
5. （積率）
確率変数 X の積率母関数をマクローリン展開すると
mX (t) = (1 − t)−3 =
∞
∑
1
k=0
k!
·
(k + 2)! k
t
2
となるのでで与えられているとき、X の積率は
E(X k ) =
(k + 2)!
,
2
k = 0, 1, 2, 3, 4, . . .
である。これより E(X) = 3, E(X 2 ) = 12 であるので
V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2 = 12 − 32 = 3
である。
6. （不等式）A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B であるので
P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪ B)
が成り立つ。また、加法定理より
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) ≥ 0
であるので
P (A ∩ B) ≤ P (A) + P (B)
も成り立つ。
7. （確率分布の再生性）
問題文より、確率変数 Xi の積率母関数は
[
]
mXi (t) = exp λi (et − 1)
である。Y = X1 + · · · + Xk とすると、Y の積率母関数は
mY (t)
=
mX1 +···+Xk (t) =
k
∏
=
k
∏
i=1
exp[λi (e − 1)] = exp
t
(Xi が互いに独立なので)
mXi (t)
i=1
[(
k
∑
)
λi
]
(e − 1)
t
i=1
これは、パラメータ λ1 + · · · + λk のポアソン分布の積率母関数であるので、題意が示された。

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