数 学 −83− 数 学 分数形で解答が求められているときは，既約分数で答えよ。符号は分子につけ，分母につ けてはならない。 第１問 次の各問いに答えよ。 （＊） を考える。 ⑴ a，bは定数とする。2次方程式 x +ax+b=0 … 2 方程式（＊）が2解 x=3，－2をもつようなa，bの値は a= アイ ，b= ウエ である。 また，方程式（＊）が重解 x=2をもつようなa，bの値は a= オカ ，b= ⑵ aを正の整数とする。次の ク ～ コ キ である。 に当てはまるものを，下の①～④のう ちから1つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ⅰ aが2の倍数であることは，aが4の倍数であるための ク 。 ⅱ aが3でも4でも割り切れることは，aが2でも6でも割り切れるための ⅲ aが素数であることは，aが奇数であるための ①必要十分条件である ②必要条件であるが，十分条件ではない ③十分条件であるが，必要条件ではない ④必要条件でも十分条件でもない −84− コ 。 ケ 。 ⑶ aを実数の定数とする。xの方程式 −5cos x ＋ 4cosx ＋ 5＝ a …① 2 がある。 1 ⅰ ①がcos x = 3 を満たす解をもつとき，aの値は a ＝ サシ ス である。 π ⅱ ①が0≦x≦ 3 を満たす解をただ１つもつような定数 a の値の範囲は セ ≦ a ≦ ソタ チ である。 ⑷ 座標平面上に，原点O(0，0)，点A(4，5)，点B(6，0)がある。線分OAの垂直二等分線 の方程式は （ ヌ ， ツ ネノ ハヒ x+ テト y− ナニ ＝0 であり，△AOBの外接円の中心の座標は ） である。 −85− 第２問 次の各問いに答えよ。 ⅰ 色の異なる6個の玉について考える。 ⑴ 横一列に並べる並べ方は全部で アイウ 通りある。 ⑵ 円形に並べる並べ方は全部で エオカ 通りある。 ⅱ 色の異なる6個の玉を形の異なる3つの箱に分配する方法について考える。ただし，空 の箱があってもよい。 ⑴ それぞれの箱に2個ずつ玉を分配する方法は全部で キク 通りある。 ⑵ 1つの箱に3個，別の１つの箱に2個，残りの１つの箱に1個の玉を分配する方法は全 部で ケコサ 通りある。 ⑶ 玉を分配する方法は全部で シスセ 通りある。 −86− 第３問 p は実数の定数とする。xy 平面上の2つの曲線 y＝x −2px＋p −p，y＝−x ＋4 が異なる2点で交わっている。pの値の範囲は 2 2 2 アイ ＜ p ＜ ウ であり，2つの交点の x 座標をα，β（α＜β）とすると 2 β−α＝ −p ＋ エ p ＋ オ である。また，2つの曲線で囲まれた部分の面積をS とすると （ −p ＋ S＝ 2 カ p ＋ キ ケ である。面積S が最大となるのは p= ） ク コ のときで，S の最大値は サ で ある。 （数学の問題は終わり） −87−
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