図形と方程式3 (点と直線の距離と線対称)

図形と方程式 3 (点と直線の距離と線対称)
基本事項 1(点と直線の距離と線対称)
点と直線の距離 a
点 (x0 , y0 ) と直線 ax + by + c = 0 の距離は，d =
ax0 + by0 + c
√
a2 + b2
直線に対して対称な点
「点 P と点 Q が直線 ℓ に対して対称である」 ⇐⇒ 「直線 PQ と ℓ が垂直」かつ「直線 PQ の中点が ℓ 上」
直線に対して対称な直線
「直線 m と直線 n が直線 ℓ に対して対称である」



「3 直線 ℓ，m，n が平行」かつ「n は m 上の任意の 1 点の ℓ に対する対称点を通る」


⇐⇒ または



「n は m と ℓ の交点を通る」かつ「n は m 上の任意の 1 点の ℓ に対する対称点を通る」
a 本公式の証明が大阪大で出題
基本問題 01
(点と直線の距離)[No.15021101]
(1) 点 (−1, 3) と直線 2x − 3y + 5 = 0 の距離を求めよ。
(2) 直線 2x − 3y + 5 = 0 と直線 2x − 3y + 25 = 0 の距離を求めよ。
12
(3) 点 (1, 2) と直線 ax + 3y + 4 = 0 の距離が √ の時，定数 a を求めよ。
13
基本問題 02
(三角形の面積)[No.15021102]
3 点 A(−1, −4)，B(3, −1)，C(5, 5) の時，△ABC の面積を求めよ。
応用問題 01
(三角形の面積の最大値)[No.15021103]
放物線 y = x2 上の点 P と 2 点 A(−2, −3)，B(6, 1) を頂点とする △ABP の面積を S とする時，S の最小値
とその時の点 P の座標を求めよ。
基本問題 03
(直線に関して対称な点と直線)[No.15021104]
(1) 直線 ℓ : 2x − y − 7 = 0 に関して，点 P(4, 6) と対称な点 Q の座標を求めよ。
(2) 直線 ℓ : 2x − y − 7 = 0 に関して，直線 m : x − y = 0 と対称な直線 n の方程式を求めよ。
基本問題 04
(折れ線の長さの最小値)[No.15021105]
平面上に 2 点 A(−1, 3)，B(5, 11) を考える。
(1) 直線 y = 2x について，点 A と対称な点 P の座標を求めよ。
(2) 点 Q が直線 y = 2x 上にある時，QA+QB を最小にする点 Q の座標を求めよ。
応用問題 02
[東京薬科大]
(直線に関して対称な点の存在条件)[No.15021106]
放物線 y = x2 上に，直線 y = ax + 1 に関して対称な位置にある異なる 2 点 P，Q が存在するような a の範
囲を求めよ。
[一橋大]
解答
基本問題 01[No.15021101]
(1) ???
(2) ???
(3) a = 2, ???
基本問題 02[No.15021102]
9
応用問題 √
01[No.15021103]
(
)
31 5
1 1
高さは
P:
,
40
4 16
基本問題 03[No.15021104]
(1) (8, 4) (2) n : 7x − y − 38 = 0
基本問題 04[No.15021105]
(1) x + y − 3 = 0
(2) 3x − y − 5 = 0
応用問題 02[No.15021106]
(1) a = 4 (2) a = −1
(3) 2x + y − 5 = 0

Download Report