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微分方程式中間試験 (2015 年)
担当：新國裕昭
約束
• 試験は 6 月 16 日（火）に 151 教室で行います。通常の教室とは異なりますので注意してください。
• 当日は学生証が受験票の代わりとなります。当日チェックをしますので持ってきてください。
• 答えのみの解答は不可とします。計算の過程を必ず書いて，問題集の解答を作るつもりで答案を作成し
ましょう。
• 携帯電話やスマートフォン，タブレットなどの通信機器は電源を切ってカバンにしまって下さい。（時計
代わりに使用したり，外部との通信をしたりすることは禁止します。）
• 机の上には筆記用具，学生証，時計以外のものは置かないで下さい。
• 開始の合図があるまで，問題用紙に「学籍番号」と「氏名」以外のものを書き込まないこと。
• 問題に不備があると感じた場合は，それを指摘することを問題とし，正しく指摘ができていることによっ
て正解, 正しく指摘していなければ不正解とする。
• 解答は採点終了後，ホームページに掲載するので復習すること。
• 下記の座席表に従って，通路側に着席すること。
つぎのことを確認しておくこと (中間試験の問題を解く際に，途中で必要になります.).
1
(a , b とする) を部分分数分解できますか？
(x − a)(x − b)
∫
1
•
dx は計算できますか？
tan x
∫ 1
• tan−1 x を微分するとどうなりますか？( 1+x
2 dx はどうなるかわかりますか？)
∫
−1
x
−1 tan
•
e− tan x
dx を計算できますか？
2
1+x
•
授業中に扱った各種微分方程式の解き方を復習していてください.
• 1 では，変数分離形・同次形・1 階線形微分方程式の問題を出題します。(50 点分)
• 2 では，完全微分方程式や積分因子に関する問題を出題します。(20 点)
• 3 では，ベルヌーイ型の微分方程式に関する問題を出題します。(20 点)
• 4 では，その他の微分方程式として 4 回微分方程式についての問題を出題します。(10 点)
微分方程式中間テスト 1 枚目
学籍番号 1
(1)
(3)
(注 1)
氏名点数次の微分方程式を解きなさい (初期条件がないものは一般解を, あるものは特殊解を求めよ.). (50 点(注 1) )
dy
1
dy
=
(2)
= e2y cos x, y(0) = 1
2
dx y(x − 1)
dx
dy
y
dy
x
= y + x tan , y(1) = π2 (4) (1 + x2 ) dx
= y + tan−1 x
dx
x
(1), (2) は 10 点, (3), (4) は 15 点
2
次の問いに答えよ.
(1) 微分方程式 (sin x + sin y)dx + (ey + x cos y)dy = 0 を解きなさい.(10 点)
(2) 微分方程式 (x3 y + xy3 + 2xy)dx + (x2 + 3y2 )dy = 0 の積分因子を 1 つ求めよ(注 2) .(10 点)
(注 2)
時間のある人は，一般解も求めよ. 正解していれば加点します.
微分方程式中間テスト（2015 年） 2 枚目
学籍番号氏名 dy
3
(1) ベルヌーイ型の微分方程式 dx
+ P(x)y = Q(x)yn は z = y1−n とおくことで
の形に変形できることを確かめなさい.（10 点）
dy
(2) 初期条件 y(0)100 = 12 のもとで dx
+ x99 y = x99 y101 を解きなさい. (10 点)
dz
dx
+ (1 − n)P(x)z = (1 − n)Q(x)
4
p = y000 とおいて, 4 階微分方程式 y0000 − 2y000 = 0 を解きなさい (10 点).

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