コーシーリーマンまとめ

6. コーシー・リーマンの方程式
(準備：複素関数を実変数関数を用いて表示すること）
複素関数 f (z ) は，実変数，実数値の 2 つの関数 u (x , y ), v ( x , y) により
f (z ) = u( x , y) + i v (x , y ) ( z =x+i y)
← x+i y と ( x , y ) を
と表すことができる。
対応させている
例題 6.1
次の f ( z ) を u (x , y ) +i v (x , y ) と表すときの u ( x , y ), v ( x , y) を求めよ。
1
(1) f (z )=z 2
(2) f (z )=
(3) f ( z )=∣z∣2
z
(指針) z= x+i y とおくことにより f (z ) を x , y の式で表し，整理して標準形
に表し，実部を u ( x , y ) ，虚部を v ( x , y) とおく。
z= x+i y とおくとき
2
2
2
← x , y は実数であることに注意
z = ( x+i y) = x − y +2 i x y
2
2
∴ u ( x , y )=x − y , v ( x , y)=2 x y
1
1
x−i y
x
−y
=
= 2 2= 2
+i 2 2
(2)
2
z
x+i y
x +y
x +y
x +y
x
y
∴ u ( x , y )= 2 2 , v ( x , y)=− 2 2
x +y
x +y
2
2
2
2
(3) ∣z∣ = x + y
∴ u ( x , y )=x + y 2 , v ( x , y)=0
(解) (1)
2
例題 6.2
2
複素関数 f (z )=e z を u ( x , y ) + i v ( x , y) ( z= x+i y )と表すときの
u ( x , y ), v ( x , y) を求めよ。
(指針) 指数関数 e z を標準形で表すには， z を標準形で x+i y と表し
2
z
x
z
2
e =e (cos y+i sin y) とする。この例題は e なので， z を標準形で表せばよい。
(解)
z= x+i y とおくとき
2
2
2
e z = e x − y +2 i x y
2
2
= e x − y (cos (2 x y)+i sin(2 x y ))
2
2
∴ u ( x , y )=e x − y cos ( 2 x y)
2
2
v ( x , y)=e x − y sin(2 x y )
// まず z 2 を展開して標準形で表し・・・
// 指数関数の定義にあてはめる。
コーシー・リーマンの方程式（ここから本題）
前述のとおり，複素関数 f ( z ) が複素微分可能であるなら，複素数 h が
f ( z+h)− f ( z )
どの方向から 0 に近づいても
の極限が同じである。
h
そこで f (z )=u ( x , y )+i v ( x , y) とし，実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致するため
に u ( x , y ) や v ( x , y) が満たすべき条件を調べてみると，次の重要な式を得る。
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
,
∂x ∂ y
∂y
∂x
※
( コーシー・リーマンの方程式 )
※連立である
∂ や ∂ は偏微分・・・他の変数を定数と考えて微分すること (→下を参照)
∂x
∂y
∂ は「でえ」とか「でる」とか読むらしい
複素微分可能である，という条件からコーシー・リーマンの方程式を導くことは，
難しくはないが，すこしなじんでからにしよう。
いったん複素微分から離れて，コーシー・リーマンの方程式そのものに注目してみる。
例題 6.3
次の複素関数を u ( x , y )+i v ( x , y) の形に表し，コーシー・リーマンの方程式を
満たすかどうか調べよ。
1
(1)
(2)
(3) ∣z∣2
z2
z
(解) 例題 6.1 の結果をそのまま用いて，つづきを述べることにする。
, v (x , y )=2 x y
(1) z 2 =x 2− y 2+2 i x y より u ( x , y )=x 2− y 2
∂u
∂u
∂v
∂v
=2 x ,
=−2 y ,
=2 y ,
=2 x
∂x
∂y
∂x
∂y
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
ゆえに
,
となり，コーシー・リーマンの方程式を満たす。
∂x
∂y
∂y
∂x
1
x−i y
x
y
= 2 2 より u ( x , y )= 2 2 , v ( x , y)=− 2 2
(2)
z
x +y
x +y
x +y
2
2
2
2
∂u ( x + y )−x⋅(2 x) −x + y
∂ u −x⋅(2 y)
−2 x y
=
= 2 22 ,
= 2
= 2 22
2
2 2
2 2
∂x
∂ y (x + y )
(x + y )
(x + y )
(x + y )
2
2
− y⋅(2 x)
∂v
( x + y )− y⋅(2 y) −x 2 + y 2
∂v
2xy
=
−
= 2 22
=− 2
=
,
∂y
∂x
(x 2+ y 2)2
(x + y )
(x + y 2)2 ( x 2+ y 2 )2
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
∴
,
. コーシー・リーマンの方程式を満たす。
∂x ∂ y
∂y
∂x
(3) ∣z∣2=x 2+ y 2 より u ( x , y )=x 2+ y 2 , v ( x , y)=0
∂u
∂u
∂v
∂v
= 2x ,
=2y ,
=0 ,
=0
∂x
∂y
∂x
∂y
∂u
∂v
∂u
∂v
x= y=0 のときは
=
=−
,
となり，コーシー・リーマンの方程式を
∂x ∂ y
∂y
∂x
満たすが， (x , y )≠( 0,0) のときは満たさない。
例題 6.4
指数関数 e z がコーシー・リーマンの方程式を満たすかどうか調べよ。
(解) e z = e x (cos y+isin y) = e x cos y + i e x sin y ( z= x+i y )
u (x , y )=e x cos y , v ( x , y)=e x sin y とおく。
∂u
∂u
∂v
∂v
=e x cos y ,
=−e x sin y ,
=e x sin y ,
=e x cos y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
ゆえに
,
.
コーシー・リーマンの方程式を満たす。
∂x ∂ y
∂y
∂x
例題 6.5
(1) 正弦関数 sin z を u ( x , y )+i v (x , y ) の形に表せ。
(2) u , v の偏導関数を求め，コーシー・リーマンの方程式を満たすかどうか調べよ。
(解) (1) sin z = sin( x+i y) = sin x cos(i y ) + cos x sin(i y)
← 複素変数に拡張された
= sin x cosh y + i cos x sinh y
三角関数の加法定理
= u + iv
( u = sin x cosh y , v = cos x sinh y )
∂u
∂u
= cos x cosh y ,
= sin x sinh y
(2)
※ 微分の公式
∂x
∂y
∂v
∂v
(sin x)' = cos x , (cos x)' = － sin x
= −sin x sinh y ,
= cos x cosh y
(sinh x)' = cosh x , (cosh x)' = sinh x
∂x
∂y
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
∴
,
. コーシー・リーマンの方程式を満たす。
∂x ∂ y
∂y
∂x
(記号の説明：偏微分係数，偏導関数について)
関数 ϕ( x , y ) は ( x , y )=( a , b) の近くで定義されているとする。
※ ϕ は｢ファイ｣
定義（偏微分係数）
∂ϕ
ϕ(a+h , b)−ϕ( a , b)
(a , b) = lim
// b は固定して変数 x について微分
∂x
h→0
h
∂ϕ
ϕ(a , b+h)−ϕ( a , b)
(a , b) = lim
// a は固定して変数 y について微分
∂y
h→0
h
これら（存在するとき）を， ϕ( x , y ) の (a ,b) における偏微分係数とよぶ。
定義(偏導関数）
各点 ( x , y ) において ϕ の偏微分係数が存在するときは，
∂ϕ
∂ϕ
関数として
や
が定義される。これらを ϕ の偏導関数とよぶ。式で書くと
∂x
∂x
∂ϕ
ϕ( x +h , y)−ϕ( x , y)
(x , y ) = lim
※ 一方の変数を一時的に
∂x
h →0
h
∂ϕ
ϕ(x , y+h)−ϕ( x , y)
( x , y) = lim
定数と考えて微分している
∂y
h→0
h
※ 各点ごとに定まる値が偏微分係数，各点に偏微分係数を対応させる関数が偏導関数。
(例)
ϕ( x , y ) = x 2 y+3 x+5 y の場合は
∂ϕ
∂ϕ
= 2x y+3 ,
= x 2 +5
∂x
∂y
（複素微分可能性からコーシー・リーマンの方程式を導く）
例題 6.6
複素関数 f ( z )=u (x , y )+i v ( x , y) ( z= x+i y )は複素微分可能であるとする。
f ( z+ϵ)− f ( z )
(1) ϵ (イプシロン）は実数を表すとして， lim
を u , v を用いて表せ。
ϵ
ϵ →0
f ( z+i ϵ)− f ( z)
(2) 同様に lim
を u , v を用いて表せ。
ϵ →0
iϵ
(3) 次の等式が成り立つことを示せ。
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
,
( コーシー・リーマンの方程式 )
∂x ∂ y
∂y
∂x
(解) (1) f ( z )=u (x , y )+i v ( x , y)
また ϵ が実数のとき z+ϵ=(x+ϵ)+i y より
f (z+ϵ)=u ( x +ϵ , y )+i v ( x+ϵ , y)
// z+ϵ には (x+ϵ , y ) が対応
したがって
f ( z+ϵ)− f (z ) u( x+ϵ , y)−u( x , y)
v( x+ϵ , y)−v ( x , y)
=
+i
ϵ
ϵ
ϵ
仮定より ϵ→ 0 のときの極限が存在するから，実部，虚部ともに極限が存在し，
∂u
∂v
その極限がそれぞれ
,
である。（偏微分係数の定義）
∂x
∂x
f ( z+ϵ)− f ( z ) ∂u
∂v
=
+i
ゆえに lim
ϵ
ϵ →0
∂x
∂x
(2) z+i ϵ = x+i y+i ϵ = x+i( y+ϵ) より
f (z+i ϵ)=u ( x , y+ϵ)+i v ( x , y+ϵ)
// z+i ϵ には ( x , y+ϵ) が対応
したがって
f ( z+i ϵ)− f ( z) u( x , y+ϵ)−u( x , y) i( v (x , y+ϵ)−v ( x , y))
=
+
iϵ
iϵ
iϵ
u( x , y+ϵ)−u( x , y) v( x , y+ϵ)−v ( x , y)
1
= −i
= −i
+
//
ϵ
ϵ
i
f ( z+i ϵ)− f ( z)
∂u
∂v
= −i
+
ゆえに(1)と同様に lim
ϵ →0
iϵ
∂y ∂ y
(3) f (z ) が複素微分可能であることより(1)と(2)の極限が一致する。
ゆえにその実部と実部，虚部と虚部がそれぞれ等しい。
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=−
したがって
,
が成り立つ。
∂x ∂ y
∂y
∂x
(助言) この手の議論にまだなれていないと，何をやっているかわからん，と感じると思うが，
もうしばらくして，なれればわかってくるはずである。　ここでは，複素微分可能性からコーシー・リーマンの方程式がちゃんと導かれることを
チェックしたら，もやもやしながらでも先へ進むといいと思う。
(おまけ：コーシー・リーマンの方程式から複素微分可能性を導く)
複素関数 f =u+i v がコーシー・リーマンの方程式を満たすときには，
実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致することまではわかる。すなわち
f ( z+ϵ)− f ( z )
f (z +i ϵ)− f (z )
lim
= lim
（ただし ϵ は実数を表す）
ϵ
ϵ →0
ϵ →0
iϵ
では，複素微分可能とまでいえるだろうか。答はほぼイエスで，次の同値関係が成り立つ。
f (z ) が複素微分可能 ⇔
u ( x , y ) , v ( x , y) がともに全微分可能であって，
コーシー・リーマンの方程式を満たす
(補足：「全微分可能」)　関数 ϕ(x , y ) が (x , y )=( a , b) の近くで定義されているとする。
ϕ(a+h1 ,b+h 2)−ϕ(a , b)−c1 h 1−c 2 h2
定数 c 1 , c 2 があって lim
= 0 であるとき，
h1 , h 2 → 0
√ h 21+h 22
ϕ( x , y ) は (x , y )=(a , b) において全微分可能であるという。
∂ϕ
∂ϕ
(a , b) , c 2=
(a , b) となる。
∂x
∂y
∂ϕ
∂ϕ
※ (a ,b) の近くで
,
が存在して連続であれば ϕ は (a ,b) において
∂x
∂y
全微分可能となる。したがって大した条件ではない(通常成り立つ）。
※ このとき必然的に c 1=
上の同値関係の証明は今すぐ必要ではないし，たぶんついに必要にならない。必要に
なったとしても，そのころには理解が進んでいて，簡単に証明できると思う。
ところが困ったことに，入門段階から，本来は不必要なこの同値関係を前提にして話が
進められ，すぐにも証明しておかないと気持ち悪いことがある。ゆえに，蛇足ではあるが
略証明を書いておく。　ご入用になったら見てください。
(→の証明) f ( z ) が z=α において複素微分可能とし， f ' (α)= p+q i とおくとき
f (α+h)− f (α)
f (α+h)− f (α)−h( p+q i)
lim {
−( p+q i)} = 0 より lim
=0
h→0
h
h→0
h
分母の h を ∣h∣ に変えても，大きさが同じなので極限が 0 であることは変わらない。
f ( α+h)− f (α)−h( p+q i)
lim
=0
h→0
∣h∣
f =u+i v , h=h1 +h 2 i とおき整理する。実部と虚部それぞれ極限が 0 であることより
u(a+h1 , b+h2 )−u (a ,b)−h1 p+h 2 q
h1 , h2 → 0 のとき
→0
√ h21+h22
v (a+h1 , b+h 2)−v (a , b)−h1 q−h 2 p
→0
√ h21 +h 22
∂u
∂v
∂u
∂v
=
= p ,
=−
= −q
よって u , v は (a ,b) において全微分可能で
∂x ∂ y
∂y
∂x
∂u
∂v
∂u
∂v
=
=l ,
=−
= m とおける。
∂x ∂ y
∂y
∂x
そこで，今述べた → の証明中の p , q をそれぞれ l ,−m におきかえて，下から逆に
たどればよい。
(←の証明) コーシー・リーマンの方程式より

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