6. コーシー・リーマンの方程式 (準備:複素関数を実変数関数を用いて表示すること) 複素関数 f (z ) は,実変数,実数値の 2 つの関数 u (x , y ), v ( x , y) により f (z ) = u( x , y) + i v (x , y ) ( z =x+i y) ← x+i y と ( x , y ) を と表すことができる。 対応させている 例題 6.1 次の f ( z ) を u (x , y ) +i v (x , y ) と表すときの u ( x , y ), v ( x , y) を求めよ。 1 (1) f (z )=z 2 (2) f (z )= (3) f ( z )=∣z∣2 z (指針) z= x+i y とおくことにより f (z ) を x , y の式で表し,整理して標準形 に表し,実部を u ( x , y ) ,虚部を v ( x , y) とおく。 z= x+i y とおくとき 2 2 2 ← x , y は実数であることに注意 z = ( x+i y) = x − y +2 i x y 2 2 ∴ u ( x , y )=x − y , v ( x , y)=2 x y 1 1 x−i y x −y = = 2 2= 2 +i 2 2 (2) 2 z x+i y x +y x +y x +y x y ∴ u ( x , y )= 2 2 , v ( x , y)=− 2 2 x +y x +y 2 2 2 2 (3) ∣z∣ = x + y ∴ u ( x , y )=x + y 2 , v ( x , y)=0 (解) (1) 2 例題 6.2 2 複素関数 f (z )=e z を u ( x , y ) + i v ( x , y) ( z= x+i y )と表すときの u ( x , y ), v ( x , y) を求めよ。 (指針) 指数関数 e z を標準形で表すには, z を標準形で x+i y と表し 2 z x z 2 e =e (cos y+i sin y) とする。この例題は e なので, z を標準形で表せばよい。 (解) z= x+i y とおくとき 2 2 2 e z = e x − y +2 i x y 2 2 = e x − y (cos (2 x y)+i sin(2 x y )) 2 2 ∴ u ( x , y )=e x − y cos ( 2 x y) 2 2 v ( x , y)=e x − y sin(2 x y ) // まず z 2 を展開して標準形で表し・・・ // 指数関数の定義にあてはめる。 コーシー・リーマンの方程式(ここから本題) 前述のとおり,複素関数 f ( z ) が複素微分可能であるなら,複素数 h が f ( z+h)− f ( z ) どの方向から 0 に近づいても の極限が同じである。 h そこで f (z )=u ( x , y )+i v ( x , y) とし,実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致するため に u ( x , y ) や v ( x , y) が満たすべき条件を調べてみると,次の重要な式を得る。 ∂u ∂v ∂u ∂v = =− , ∂x ∂ y ∂y ∂x ※ ( コーシー・リーマンの方程式 ) ※連立である ∂ や ∂ は偏微分・・・他の変数を定数と考えて微分すること (→下を参照) ∂x ∂y ∂ は「でえ」とか「でる」とか読むらしい 複素微分可能である,という条件からコーシー・リーマンの方程式を導くことは, 難しくはないが,すこしなじんでからにしよう。 いったん複素微分から離れて,コーシー・リーマンの方程式そのものに注目してみる。 例題 6.3 次の複素関数を u ( x , y )+i v ( x , y) の形に表し,コーシー・リーマンの方程式を 満たすかどうか調べよ。 1 (1) (2) (3) ∣z∣2 z2 z (解) 例題 6.1 の結果をそのまま用いて,つづきを述べることにする。 , v (x , y )=2 x y (1) z 2 =x 2− y 2+2 i x y より u ( x , y )=x 2− y 2 ∂u ∂u ∂v ∂v =2 x , =−2 y , =2 y , =2 x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = =− ゆえに , となり,コーシー・リーマンの方程式を満たす。 ∂x ∂y ∂y ∂x 1 x−i y x y = 2 2 より u ( x , y )= 2 2 , v ( x , y)=− 2 2 (2) z x +y x +y x +y 2 2 2 2 ∂u ( x + y )−x⋅(2 x) −x + y ∂ u −x⋅(2 y) −2 x y = = 2 22 , = 2 = 2 22 2 2 2 2 2 ∂x ∂ y (x + y ) (x + y ) (x + y ) (x + y ) 2 2 − y⋅(2 x) ∂v ( x + y )− y⋅(2 y) −x 2 + y 2 ∂v 2xy = − = 2 22 =− 2 = , ∂y ∂x (x 2+ y 2)2 (x + y ) (x + y 2)2 ( x 2+ y 2 )2 ∂u ∂v ∂u ∂v = =− ∴ , . コーシー・リーマンの方程式を満たす。 ∂x ∂ y ∂y ∂x (3) ∣z∣2=x 2+ y 2 より u ( x , y )=x 2+ y 2 , v ( x , y)=0 ∂u ∂u ∂v ∂v = 2x , =2y , =0 , =0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v x= y=0 のときは = =− , となり,コーシー・リーマンの方程式を ∂x ∂ y ∂y ∂x 満たすが, (x , y )≠( 0,0) のときは満たさない。 例題 6.4 指数関数 e z がコーシー・リーマンの方程式を満たすかどうか調べよ。 (解) e z = e x (cos y+isin y) = e x cos y + i e x sin y ( z= x+i y ) u (x , y )=e x cos y , v ( x , y)=e x sin y とおく。 ∂u ∂u ∂v ∂v =e x cos y , =−e x sin y , =e x sin y , =e x cos y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = =− ゆえに , . コーシー・リーマンの方程式を満たす。 ∂x ∂ y ∂y ∂x 例題 6.5 (1) 正弦関数 sin z を u ( x , y )+i v (x , y ) の形に表せ。 (2) u , v の偏導関数を求め,コーシー・リーマンの方程式を満たすかどうか調べよ。 (解) (1) sin z = sin( x+i y) = sin x cos(i y ) + cos x sin(i y) ← 複素変数に拡張された = sin x cosh y + i cos x sinh y 三角関数の加法定理 = u + iv ( u = sin x cosh y , v = cos x sinh y ) ∂u ∂u = cos x cosh y , = sin x sinh y (2) ※ 微分の公式 ∂x ∂y ∂v ∂v (sin x)' = cos x , (cos x)' = - sin x = −sin x sinh y , = cos x cosh y (sinh x)' = cosh x , (cosh x)' = sinh x ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = =− ∴ , . コーシー・リーマンの方程式を満たす。 ∂x ∂ y ∂y ∂x (記号の説明:偏微分係数,偏導関数について) 関数 ϕ( x , y ) は ( x , y )=( a , b) の近くで定義されているとする。 ※ ϕ は「ファイ」 定義(偏微分係数) ∂ϕ ϕ(a+h , b)−ϕ( a , b) (a , b) = lim // b は固定して変数 x について微分 ∂x h→0 h ∂ϕ ϕ(a , b+h)−ϕ( a , b) (a , b) = lim // a は固定して変数 y について微分 ∂y h→0 h これら(存在するとき)を, ϕ( x , y ) の (a ,b) における偏微分係数とよぶ。 定義(偏導関数) 各点 ( x , y ) において ϕ の偏微分係数が存在するときは, ∂ϕ ∂ϕ 関数として や が定義される。これらを ϕ の偏導関数とよぶ。式で書くと ∂x ∂x ∂ϕ ϕ( x +h , y)−ϕ( x , y) (x , y ) = lim ※ 一方の変数を一時的に ∂x h →0 h ∂ϕ ϕ(x , y+h)−ϕ( x , y) ( x , y) = lim 定数と考えて微分している ∂y h→0 h ※ 各点ごとに定まる値が偏微分係数,各点に偏微分係数を対応させる関数が偏導関数。 (例) ϕ( x , y ) = x 2 y+3 x+5 y の場合は ∂ϕ ∂ϕ = 2x y+3 , = x 2 +5 ∂x ∂y (複素微分可能性からコーシー・リーマンの方程式を導く) 例題 6.6 複素関数 f ( z )=u (x , y )+i v ( x , y) ( z= x+i y )は複素微分可能であるとする。 f ( z+ϵ)− f ( z ) (1) ϵ (イプシロン)は実数を表すとして, lim を u , v を用いて表せ。 ϵ ϵ →0 f ( z+i ϵ)− f ( z) (2) 同様に lim を u , v を用いて表せ。 ϵ →0 iϵ (3) 次の等式が成り立つことを示せ。 ∂u ∂v ∂u ∂v = =− , ( コーシー・リーマンの方程式 ) ∂x ∂ y ∂y ∂x (解) (1) f ( z )=u (x , y )+i v ( x , y) また ϵ が実数のとき z+ϵ=(x+ϵ)+i y より f (z+ϵ)=u ( x +ϵ , y )+i v ( x+ϵ , y) // z+ϵ には (x+ϵ , y ) が対応 したがって f ( z+ϵ)− f (z ) u( x+ϵ , y)−u( x , y) v( x+ϵ , y)−v ( x , y) = +i ϵ ϵ ϵ 仮定より ϵ→ 0 のときの極限が存在するから,実部,虚部ともに極限が存在し, ∂u ∂v その極限がそれぞれ , である。(偏微分係数の定義) ∂x ∂x f ( z+ϵ)− f ( z ) ∂u ∂v = +i ゆえに lim ϵ ϵ →0 ∂x ∂x (2) z+i ϵ = x+i y+i ϵ = x+i( y+ϵ) より f (z+i ϵ)=u ( x , y+ϵ)+i v ( x , y+ϵ) // z+i ϵ には ( x , y+ϵ) が対応 したがって f ( z+i ϵ)− f ( z) u( x , y+ϵ)−u( x , y) i( v (x , y+ϵ)−v ( x , y)) = + iϵ iϵ iϵ u( x , y+ϵ)−u( x , y) v( x , y+ϵ)−v ( x , y) 1 = −i = −i + // ϵ ϵ i f ( z+i ϵ)− f ( z) ∂u ∂v = −i + ゆえに(1)と同様に lim ϵ →0 iϵ ∂y ∂ y (3) f (z ) が複素微分可能であることより(1)と(2)の極限が一致する。 ゆえにその実部と実部,虚部と虚部がそれぞれ等しい。 ∂u ∂v ∂u ∂v = =− したがって , が成り立つ。 ∂x ∂ y ∂y ∂x (助言) この手の議論にまだなれていないと,何をやっているかわからん,と感じると思うが, もうしばらくして,なれればわかってくるはずである。 ここでは,複素微分可能性からコーシー・リーマンの方程式がちゃんと導かれることを チェックしたら,もやもやしながらでも先へ進むといいと思う。 (おまけ:コーシー・リーマンの方程式から複素微分可能性を導く) 複素関数 f =u+i v がコーシー・リーマンの方程式を満たすときには, 実軸方向と虚軸方向の微分係数が一致することまではわかる。すなわち f ( z+ϵ)− f ( z ) f (z +i ϵ)− f (z ) lim = lim (ただし ϵ は実数を表す) ϵ ϵ →0 ϵ →0 iϵ では,複素微分可能とまでいえるだろうか。答はほぼイエスで,次の同値関係が成り立つ。 f (z ) が複素微分可能 ⇔ u ( x , y ) , v ( x , y) がともに全微分可能であって, コーシー・リーマンの方程式を満たす (補足:「全微分可能」) 関数 ϕ(x , y ) が (x , y )=( a , b) の近くで定義されているとする。 ϕ(a+h1 ,b+h 2)−ϕ(a , b)−c1 h 1−c 2 h2 定数 c 1 , c 2 があって lim = 0 であるとき, h1 , h 2 → 0 √ h 21+h 22 ϕ( x , y ) は (x , y )=(a , b) において全微分可能であるという。 ∂ϕ ∂ϕ (a , b) , c 2= (a , b) となる。 ∂x ∂y ∂ϕ ∂ϕ ※ (a ,b) の近くで , が存在して連続であれば ϕ は (a ,b) において ∂x ∂y 全微分可能となる。したがって大した条件ではない(通常成り立つ)。 ※ このとき必然的に c 1= 上の同値関係の証明は今すぐ必要ではないし,たぶんついに必要にならない。必要に なったとしても,そのころには理解が進んでいて,簡単に証明できると思う。 ところが困ったことに,入門段階から,本来は不必要なこの同値関係を前提にして話が 進められ,すぐにも証明しておかないと気持ち悪いことがある。ゆえに,蛇足ではあるが 略証明を書いておく。 ご入用になったら見てください。 (→の証明) f ( z ) が z=α において複素微分可能とし, f ' (α)= p+q i とおくとき f (α+h)− f (α) f (α+h)− f (α)−h( p+q i) lim { −( p+q i)} = 0 より lim =0 h→0 h h→0 h 分母の h を ∣h∣ に変えても,大きさが同じなので極限が 0 であることは変わらない。 f ( α+h)− f (α)−h( p+q i) lim =0 h→0 ∣h∣ f =u+i v , h=h1 +h 2 i とおき整理する。実部と虚部それぞれ極限が 0 であることより u(a+h1 , b+h2 )−u (a ,b)−h1 p+h 2 q h1 , h2 → 0 のとき →0 √ h21+h22 v (a+h1 , b+h 2)−v (a , b)−h1 q−h 2 p →0 √ h21 +h 22 ∂u ∂v ∂u ∂v = = p , =− = −q よって u , v は (a ,b) において全微分可能で ∂x ∂ y ∂y ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = =l , =− = m とおける。 ∂x ∂ y ∂y ∂x そこで,今述べた → の証明中の p , q をそれぞれ l ,−m におきかえて,下から逆に たどればよい。 (←の証明) コーシー・リーマンの方程式より
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