三角錐の体積（積分学まで待たねばならないか？） • 図左が、正三角錐。右が正四角錐。これもまた、数学成書において証明は「積分法まで待たなければならず、記憶しておくと便利」と解説されている。しかし、多面体タイルを使えば、角錐の体積 (1/3)(底面積)(高さ) はいとも容易く、文字を用いた計算もピゴラスの定理と無理数の計算ができれば可能。これができる前提は、タイルによって、組立てたり分解したりすること。橙色の三角錐は直方体の１/３ • 左上の画像が多面体タイルで作った直方体。一辺をaとするとその体積は、a×a×a a3 下の画像は、直方体を構成する多面体が分かるように分解したもの。黄色２つと、橙１つが同じ大きさであり、橙の三角錐の体積は、直方体の体積の１／３であることが分かる。 (1/3) a3 三角錐の体積を求める１ • 三角錐の底辺１辺を√2aとすると垂線の長さはピタゴラスの定理を用いて h 2 +(√2a/2) 2 =(√2a) 2 これを計算して h 2 = 3a 2/2 h = √3a/√2 (h>0) したがって、底面積 (√2a×h)/2 = √3a2/2 これを(1/3) a3に代入すると (1/3)(√3a2/2)(2a/√3) この(2a/√3)は三角錐の高さです。したがって、 1/3(底面積)(高さ) この計算は、「積分学」を待つ程のことはない。三角錐の体積を求める２ • 三角錐の一辺を√2aとしたとき、AH2+BH2=(√2a)2 • BH=(2/3)BM • BM2=BC2-CM2 =(√2a)2--(√2a/2)2 =3a 2 /2 BM=√3a/√2 BH=2√3a/3√2 AH2=(√2a)2 -BH2=2a2 -12a2 /18 =24a2/18=4a2/3 AH=2a/√3 これが三角錐の高さ、これに底面積√3a2/2をかけると（2a/√3)(√3a2/2 ）= a3 一辺aの直方体の体積となる。