数学（PDF： 603KB）

２０１５年度青山学院高等部一般入学試験問題数　学
始まりのブザーが鳴るまでページをめくってはいけません。
下記の注意事項に目を通しておいてください。
◎　問題用紙は 1 ページから 8 ページまであるので、始まりのブザー
が鳴ったらすぐに確認すること。
◎　解答はすべて別紙の解答用紙に記入すること。
◎　とじてある問題用紙をばらばらにしたり、一部を切り取ったり
しないこと。
◎　どの問題から解き進めてもよい。
◎　終了のブザーが鳴ったら筆記用具を置くこと。
◎　解答用紙のみを提出し、問題冊子は持ち帰ってもかまわない。
◎解答は，すべて別紙解答用紙の解答欄に記入せよ．
1
次の問に答えよ．
（ 1 ）　_5 - 24 i _5 + 24 i を計算せよ．
2
（ 2 ）　方程式 ^ x - 2h 2 - ^ x - 2h - 12 = 0 を解け．
1
，r はそのままでよい．
2
% % %
下図において，AB ：BC ：CD = 3：10：8，+ABD = 54°とし，点 A における円の
接線と，直線 CD の交点を E とする．ただし，弧の長さは短い方のものとする．
（ 1 ）　+BDC の大きさを求めよ．
（ 2 ）　+AED の大きさを求めよ．
A
B
E
54°
D
C
2
3
図のように，放物線 y = x 2 と直線 y = x + 2 の交点を A，B とし，放物線 y = ax 2
（ a 1 0 ）上の点で，点 A と x 座標が等しい点を C，点 B と x 座標が等しい点を D と
する．ただし，点 A は点 B よりも左側にあるものとする．このとき，直線 AD と
3
直線 BC の交点 P の y 座標はである．
5
（ 1 ）　点 A の座標を求めよ．
（ 2 ）　線分 AC と線分 BD の長さの比を最も簡単な整数の比で表せ．
（ 3 ）　点 P の座標を求めよ．
（ 4 ）　a の値を求めよ．
y=x2
y
B
P
A
C
O
3
5
D
x
y=x+2
y = ax 2
3
4
下図のような正五角形 ABCDE がある．この正五角形の頂点 A の上にある点 P を，
以下の【規則】に従って，B，C，…の順に左まわりに移動させる．
A
【規則】
P
1 個のさいころを投げ，
・奇数の目が出たら，出た目の数だけ移動させる．
B
E
・偶数の目が出たら，出た目の半分の数だけ移動させる．
C
（ 1 ）　さいころを 2 回投げたとき，点 P が頂点 A にある確率を求めよ．
（ 2 ）　さいころを 2 回投げたとき，点 P がいる確率が最も高い頂点を答え，
その確率を求めよ．
4
D
5
ある工場では，気温が低いほどよく売れる商品 A と，気温が高いほどよく売れる
商品 B を製造している．それぞれの商品の製造個数は，予想最高気温 x ℃によって
次のように決められている（ただし，x は整数とする）．
〈商品 A 〉　x F 25 のとき：a 個を製造する（a は一定）．
x E 25 のとき：x が 1 減るごとに，製造個数を p 個増やす（p は一定）．
〈商品 B 〉　x E 15 のとき：b 個を製造する（b は一定）．
x F 15 のとき：x が 1 増えるごとに，製造個数を q 個増やす（q は一定）．
商品 A，B の製造個数の合計は，予想最高気温が 15℃のとき 800 個，10℃のとき
850 個である．
（ 1 ）　p を求めよ．
以下，予想最高気温が 20 ℃ のときの商品 A，B の製造個数をそれぞれ 450 個，
360 個とする．
（ 2 ）　a，b を求めよ．
（ 3 ）　予想最高気温が 25℃のときの商品 B の製造個数を求めよ．
5
6
一辺が 10 cm の正方形の紙 ABCD がある．辺 BC 上，辺 AD 上にそれぞれ点 E，F
をとり，線分 EF を折り目として，正方形 ABCD を点 B が辺 CD 上にくるように
折る．点 B，A が移った点をそれぞれ G，H とし，線分 GH と辺 AD の交点を K と
する．BE：EC = 3：2 のとき，以下の問に答えよ．
（ 1 ）　線分 GK の長さを求めよ．
（ 2 ）　線分 AF の長さを求めよ．
（ 3 ）　iGDK の内接円の半径を求めよ．
A
H
F
D
K
G
B
6
E
C
7
図のように，線分 AB を直径とする半円 O の周上に 2 点 C，D をとり， 2 直線 AC，
BD の交点を E，線分 AD と BC の交点を F とする．AD = 3 13 ，DE = 2 13 ，
CE = 8 のとき，以下の問に答えよ．
（ 1 ）　線分 CF の長さを求めよ．
（ 2 ）　線分 CD の長さを求めよ．
（ 3 ）　iCFD の面積を求めよ．
E
D
C
F
A
7
O
B
8
直方体 ABCD－EFGH がある．AB = 8，AD = 4，AE = 8 2 であり，線分 DG の
中点を M とする．
（ 1 ）　四面体 MEFG の体積を求めよ．
（ 2 ）　線分 EM の長さを求めよ．
（ 3 ）　iEFM の面積を求めよ．
（ 4 ）　頂点 G から平面 EFM に下ろした垂線の長さを求めよ．
D
A
C
B
M
H
E
G
F
8

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