(1) Kn (n ≧ 1)

年番号
1
k は 1 以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた 2k ¡ 1 枚のカードが 1 組あり，その中
2
氏名
下の図のように，F1 を 1 辺の長さが 1 の正三角形とする．F1 の 3 つの辺のそれぞれを 3 等分
に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカー
し 3 つの線分に分ける．この 3 つの線分の中央の線分に，その線分を 1 辺とする正三角形を F1
ドにたどりつくことを考える．
の外側に追加して得られる多角形を F2 とする．次に，F2 の 12 個の辺のそれぞれを 3 等分し 3
‘ カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
つの線分に分ける．この 3 つの線分の中央の線分に，その線分を 1 辺とする正三角形を F2 の外
’ ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
側に追加して得られる多角形を F3 とする．以下同様にして，F4 ; F5 ; F6 ; Ý を作るものとす
“ 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，‘ に戻って繰り返す．
る．Fn の辺の個数を Kn ，周の長さを Ln ，面積を Sn とする．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を Ek とおく．このとき，次の問いに答えな
さい．
(1) E1 ; E2 ; E3 ; E4 を求めよ．
(2) Ek+1 を Ek を用いて表せ．
1
(3) dk = Ek ¡ k (Ek + 1) とおくとき，dk のみたす漸化式を求めよ．
2
(4) Ek を求めよ．
k
(5) lim (Ek ¡ k) を求めよ．ただし， lim k = 0 であることを用いてもよい．
k!1
k!1 2
（高知大学 2014 ）
(1) Kn (n = 1) を求めよ．
(2) Ln (n = 1) を求めよ．
(3) S1 と Sn ¡ Sn¡1 (n = 2) を求めよ．
(4) Sn (n = 1) を求めよ．
(5) 数列 fLn g の極限を調べよ．
(6) 数列 fSn g の極限を調べよ．
（日本女子大学 2013 ）
3
関数 f0 (x)，f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)，f4 (x) は，n = 0; 1; 2; 3 に対して，fn (0) が 0 に一致
しないときか一致するときかという場合に応じて fn+1 (x) を fn (x) から定める関係式
d
f (x)
dx n
fn+1 (x) = [ Z
(fn (0) Ë 0)
x
0
fn (t) dt + 1 (fn (0) = 0)
をみたしているとする．
(1) f0 (x) = x のとき，f4 (x) を求めよ．
(2) f1 (x) = 0 ならば，f0 (x) は定数であることを証明せよ．
(3) f2 (x) = 0 ならば，f0 (x) = ax + b（ a; b は定数）と表されることを証明せよ．
（埼玉大学 2014 ）

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