1 放物線 C : y = x 2 上に異なる 2 点 P，Q をとる．P，Q

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放物線 C : y = x2 上に異なる 2 点 P，Q をとる．P，Q の x
座標をそれぞれ p，q（ただし，p < q ）とする．直線 PQ の
傾きを a とおく．以下の問いに答えよ．
2
n を自然数，i を虚数単位とする．集合 I1 ; I2 ; I3 ; I4 ，およ
び Aを
(1) a を p; q を用いて表せ．
(2) a = 1 とする．直線 PQ と x 軸の正の向きとなす角 µ1（た
だし，0 < µ1 < ¼ ）を求めよ．
(3) a = 1 とする．放物線 C 上に点 R をとる．R の x 座標を r（た
だし，r < p ）とする．三角形 PQR が正三角形になるとき，直
線 PR と x 軸の正の向きとのなす角 µ2（ただし，0 < µ2 < ¼ ）
を求めよ．また，このとき直線 PR の傾き，および直線 QR
の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形 PQR の面積を
I1 = fk j k は n 以下の自然数 g
I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g
I3 = fki j k は n 以下の自然数 g
I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g
A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g
とする．集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカードが 4n + 1 枚
ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異な
るものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一
求めよ．
(4) a = 2 とする．放物線 C 上に点 S(1; 1) をとる．三角形 PQS
¼
が ÎS =
である直角三角形になるとき，この三角形の面
2
積を求めよ．
列に並べる．左から k 番目のカードに書かれた数を Xk とす
るとき，次の確率を求めよ．
(1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる．
(2) 積 X1 X2 X3 が実数となる．
（長崎大学 2015 ）
(3) 和 X1 + X2 が実数となる．
(4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる．
(5) X1 (X2 + X3 ) が実数となる．
（愛媛大学 2015 ）
3
a < b とする．放物線 y = x2 上の 2 点 A(a; a2 )，B(b; b2 )
4
におけるそれぞれの接線の交点を C とおく．ÎACB = 60± で
(1) n 個の実数 a1 ; a2 ; Ý; an に対して
あるとする．
(1) a + b = 0 のとき，a を求めよ．
¡!
¡!
(2) ある正の実数 k を用いて CA = ¡k(1; 2a)，CB =
k(1; 2b) と表されることを示せ．
p
p
3
3
(3) a < ¡
; b>
を示せ．
6
6
(4) b を a を用いて表せ．
次の問いに答えよ．
$
n
P
k=1
2
ak < 5 n
n
P
k=1
ak 2
が成立することを示せ．また，等号が成立するための
a1 ; a2 ; Ý; an についての必要十分条件を求めよ．
（滋賀医科大学 2015 ）
(2) 偏りをもつサイコロを 2 回投げるとき，同じ目が続けて出る
1
確率は
よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏
6
りをもつとは，1 から 6 の目が同様に確からしく出ないこと
をいう．
（信州大学 2015 ）
5
6
n を自然数とする．
鋭角三角形 4ABC について，ÎA，ÎB，ÎC の大きさを，そ
(1) n 以下の非負の整数 k について，関数 x(1 + x)n の導関数の
れぞれ A，B，C とする．4ABC の重心を G，外心を O とし，
xk の係数を求めよ．
n
P
(2)
(k + 1)2 n Ck = (n + 1)(n + 4)2n¡2 を示せ．
外接円の半径を R とする．
(1) A と O から辺 BC に下ろした垂線を，それぞれ AD，OE と
k=0
（信州大学 2015 ）
する．このとき，
AD = 2R sin B sin C;
OE = R cos A
を証明せよ．
(2) G と O が一致するならば 4ABC は正三角形であることを証
明せよ．
(3) 4ABC が正三角形でないとし，さらに OG が BC と平行で
あるとする．このとき，
AD = 3OE;
tan B tan C = 3
を証明せよ．
（九州大学 2014 ）
7
8
xy 平面上で，媒介変数 µ により
x=
B
cos 2µ cos µ;
y=
B
cos 2µ sin µ
#¡
¼
¼
;
5µ5
4
4
と表される曲線を C とする．
連続関数 f(x) は次の条件を満たす．
f(x) = 1 +
Z
x
0
(x ¡ t)f(t) dt
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線 C 上で y 座標が最大となる点の座標を (p; q) とする．
(p; q) を求めよ．
(1) Á(x) = f(x) + f0 (x) とおくとき，
Á0 (x)
を求めよ．
Á(x)
(2) f(x) を求めよ．
(2) 曲線 C で囲まれた図形のうち x = p の部分の面積を求めよ．
ただし，p は (1) で求めた x 座標である．
（埼玉大学 2014 ）
（鳥取大学 2015 ）

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