2015年度入試問題

2015 年度（平成 27 年度）
入
試
問
題
保健医療学部
診療放射線技術学科
（推薦入試・一般入試（前期））
大阪物療大学
Butsuryo College of Osaka
集
目次
問題
頁
○推薦入試
◇基礎学力検査（数学 I）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
1
○一般入試（前期）
◇筆記試験（数学 I・II）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
5
2015 年度
推薦入試
基礎学力検査（数学 I）（70 分）
【問 1】次の計算をしなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答欄
にマークしなさい。
1.
19992 − 1999 × 2001 − 2
=
2001 − 1
2.
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
= 𝑥4 +
1
3.
1−
1
√2
ウエ
𝑥3 +
の整数部分は
小数部分は√
シ
オカ
サ
ス
−
アイ
𝑥2 +
キク
𝑥+
ケコ
，
である。
4.
|5√3 − 4√5| + |3√5 − 4√3| =
5.
tan 30° + cos 130° + sin 140° + tan 150° =
6.
1 − sin(90° − 𝜃)
=
1 + cos(180° − 𝜃)
セ
√
テ
－1－
ソ
ツ
−
タ
√
チ
【問 2】次の空欄を埋めなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答
欄にマークしなさい。
1.
(𝑥 2 + 6)2 − 12(𝑥 2 + 6)𝑥 + 35𝑥 2 を因数分解すると，
ア
(𝑥 −
ただし，
2.
イ
) (𝑥 −
ア
＜
イ
𝑥=
1
，𝑦 =
3 − √5
𝑥−𝑦 =
4.
カ
1
3 + √5
√5
キ
ウ
sin 𝜃 の値は
エ
＜
エ
) である。
とする。
である。
のとき，
ク
√5 ，𝑥 3 +𝑦 3 =
ケ
である。
コ
cos 𝜃 − sin 𝜃
= 3 − 2√2 のとき，
cos 𝜃 + sin 𝜃
√
サ
シ
√
tan 𝜃 の値は
オ
𝑥 𝑦
， − =
𝑦 𝑥
0° < 𝜃 < 90° とする。
√
5.
＜
) (𝑥 −
𝑥 + 𝑦 = 10，𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 = 20 のとき，
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥𝑦 + 3𝑦 2
の値は
𝑥 2 − 3𝑥𝑦
3.
ウ
) (𝑥 −
， cos 𝜃 の値は
ス
，
セ
ソ
である。
タ
2 種類の食塩水 A，B がある。A 50 g と B 100 g を混ぜると 12% の
食塩水ができ，A 200 g と B 160 g を混ぜると 14% の食塩水ができる。
この食塩水 A の濃度は
チツ
%である。
－2－
【問 3】次の空欄を埋めなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答
欄にマークしなさい。
1.
同一平面上に点 A，B，C，P がある。AP と BP と CP の長さが等しく，
AB = 3，∠CAB = 55°，∠ABC = 80° のとき，CP の長さは
ア
√
イ
となる。
ウ
2.
0° ≦ 𝜃 ≦ 90° とする。0 ≦ tan2𝜃 ≦ √3 を満たす 𝜃 の最大値は，
エオ
3.
°である。
A さんと B さん合わせて 100 個のボールを持っている。A さんのボールの
ちょうど 3 分の 1 を B さんに渡しても，A さんの方が多かった。
さらに，A さんが B さんにボールを 3 個渡すと，B さんの方が多くなった。
はじめに A さんが持っていたボールは
4.
カキ
個である。
2km 離れた標高が同じ 2 地点 P，Q において，ある山の山頂 T を
見上げたところ，P からは真北の方向から東へ 30°の方向に仰角 45°，
Q からは真東の方向から北へ 30°の方向に仰角 60°に山頂 T が見えた。
P，Q からのこの山の高さを BT とすると，∠PBQ は
クケ
また，この山の高さ BT は，小数第 2 位を四捨五入すると，
およそ
5.
コ
.
サ
km となる。
3 辺の長さが 𝑥 − 3，𝑥， 𝑥 + 3 となる鈍角三角形がある。
𝑥 の値の範囲は，
シ
<𝑥<
スセ
－3－
となる。
°となる。
【問 4】次の空欄を埋めなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答
欄にマークしなさい。
2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 のグラフが下図で与えられる。以下の問いに答えよ。
(1)
このグラフの頂点の座標は，𝑥 =
(2)
この 2 次関数のそれぞれの係数は，
𝑎=
(3)
，𝑏 =
カキ
，𝑐 =
，𝑦 =
クケ
ウ
である。
である。
このグラフを，原点に対して対称移動したグラフの 2 次関数は，
𝑦=
(4)
エオ
アイ
コ
𝑥2 +
サシ
𝑥+
ス
となる。
この 2 次関数を 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 とおく。𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 7 とし，
どんな 𝑥 に対しても 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) が成り立つような定数 𝑝 の範囲は，
セソタ
(5)
チ
< 𝑝<
である。
(4)の 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) について，どんな 𝑥1 ，𝑥2 に対しても
𝑓(𝑥1 ) < 𝑔(𝑥2 ) が成り立つような定数 𝑝 の範囲は，
ツテ
(6)
< 𝑝<
ト
である。
2 次関数 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑞𝑥 + 𝑞 2 + 𝑞 + 3 の頂点と，
図で与えられた 2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 の頂点との距離が
最小になるのは， 𝑞 =
ナ
のときである。
－4－
2015 年度一般入試（前期）
数学 I・II （90 分）
【問題 1】次の計算をしなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答
欄にマークしなさい。
ア
1.
𝑎2
(𝑎 − 2𝑏) ( + 𝑎𝑏 + 2𝑏 2 ) =
2
2.
4𝑥2 (2𝑥 + 9𝑦) + 9𝑦2 (6𝑥 + 3𝑦) = (
3.
3 + 𝑖 1 − 3𝑖
−
=
1 − 𝑖 1 + 2𝑖
4.
|3√5 − 4√3| + |9√3 − 7√5| =
5.
log 3 30 − log 3 5 + log 3 54 − log 3 4 =
6.
2−4 × √8 × (√2) ÷ √32 =
7.
(sin 20° + cos 160°)2 + (cos 20° + sin 160°)2 =
8.
𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 + 12 を因数分解すると，
7
9
(𝑥 +
ク
ツ
ただし，
) (𝑥 +
ツ
<
イ
ケ
+
𝑎3 −
ウ
(
オ
キ
カ
𝑥+
𝑏3 )
エ
𝑦)
𝑖
コ
√
サ
√
シ
−
ス
セ
ソ
6
タ
チ
テ
) (𝑥 −
ト
) (𝑥 −
テ
，
<
ナ
ト
－5－
ナ
) である。
とする。
【問題 2】次の空欄を埋めなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解
答欄にマークしなさい。
1.
数列 𝑎𝑛 = 3𝑛𝑛−2 − 𝑎𝑛−1 (𝑛 ≧ 2)の第5項は
アイウ
である。
ただし𝑎1 = 1 とする。
2.
𝑥=
−1 + √3𝑖
−1 − √3𝑖
，𝑦 =
のとき，
2
2
𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 =
3.
エオ
cos𝜃 + sin𝜃
= √2 + 1 のとき，tan𝜃 = √
cos𝜃 − sin𝜃
+√
ケ
2
−
ク
，
コ
池のメダカの数を推定するのに， 31 匹をすくい取って，その全部に印を
つけて池に戻した。5 分後，再びメダカをすくい取ると 45 匹いて，
そのうち印のついたものが 4 匹いた。池のメダカはおおよそ
× 102 匹いると推定できる。ただし，メダカの分布は
3 点， A（1, 1）， B（3, 4），C（𝑥 , 𝑦 ）を頂点とする三角形 ABC がある。
この三角形の重心 G の座標が（2,2）のとき，
𝑥=
セ
，𝑦 =
ソ
である。
また，この三角形の面積は，
6.
キ
である。
サ
シ . ス
均等とする。
5.
カ
である。
2cos 𝜃 =
4.
，𝑥 3 − 𝑦 3 =
タ
チ
である。
5%の食塩水 200g と 18%の食塩水 50g を混合すると，
ツ
.
テ
%の食塩水ができる。
－6－
【問題 3】最近，日本人による iPS 細胞のノーベル賞受賞によって「細
胞」の概念が広く一般人にも知られるようになってきた。人体を構成する
細胞は体外に取り出して培養すると，細胞増殖が可能となるが，これを
数学的な観点から捉えることができる。次の
ア
～
セ
に当てはま
る数字をマークシートから一つずつ選んで該当マークを塗りつぶしなさい。
(1)
細胞が増殖して 2 倍の数に増えるのに要する時間は「倍加時間」
と呼ばれる。培養中のある時間に，8 万細胞あった細胞が，
24 時間後に 32 万細胞，48 時間後に 128 万細胞に増殖した
と仮定すると，この細胞の倍加時間は
(2)
アイ
時間と計算される。
倍加時間 24 時間の細胞に細胞増加分を本来の倍加時間あたり
5 0 % に抑制する薬剤を培養当初に投与すると，細胞数が
96 時間後に
ウエ
%に抑えられることになる。小数点第 1 位を
四捨五入せよ。
(3)
倍加時間が 48 時間の正常細胞が癌化（がんか）して，がん細胞
の倍加時間が 16 時間に短縮したと仮定すると，96 時間後に，
正常細胞が到達する細胞数よりも，がん細胞は
オカ
倍多い
ことになる。
(4)
直径
1mm の球状のがん組織が直径
2mm に成長するのに，
1 年間要したと仮定する。直径 2mm の後に直径 10mm に増大
するには，さらに“
キ
.
ク
年間 ”（小数点第 2 位を四捨五
入する）を要すると計算される。ただし，「細胞数」と「細胞の占める
容積」は比例すると見なし，がん細胞の倍加時間は一定と仮定
する。 log10 2 = 0.3010 とする。
－7－
(5)
ある細胞の増殖には，G1（時間不定）→S（7 時間）→G2（4 時間）
→M（1 時間）→G1（時間不定）→S（7 時間）→G2（4 時間）
→M（1 時間）→……という細胞状態 4 種類のサイクルをこの順序と
所要時間で進行し繰り返す。すべての細胞が 1 サイクルを経ると，
細胞数は 2 倍に増える。G1 の所要時間だけが変動しやすく，薬剤
なしの自然状態で 8 時間だった G1（1 サイクルは 20 時間となる）
が薬剤投与で
ケコ
時間に長引くと，倍加時間は当初の 2 倍
に延長される。
(6)
前記 (5) で１サイクル 2 0 時間として，自然状態の細胞では， 4 種
類の細胞状態の中で，
7 時間の S という細胞状態でだけ遺伝子
が合成され，S の時間中，常に一定速度で遺伝子合成されると仮
定する。遺伝子合成している細胞の数はすべての細胞の数の中
で
(7)
サシ
%を占めることになる。
前記 (5) の自然状態の細胞に対して， G 1 から S へ進む移行だけを
選択的に阻止する薬剤を投与すると，8 時間を要する G1 では，
その“出口 ”にある細胞は，S の“入口 ”に入れず，G1 の出口で停止
する。他の細胞状態はそのまま順調に進行する。この場合，この
薬剤を 2 時間，投与すると，全細胞数の 40%を占めていた G1 状
態の細胞が G1 の出口にて停滞するため 50%に増加する。この
薬剤を 5 時間投与すると，G1 状態の細胞は，
することになる。
－8－
スセ
%に増加
【問題 4】記数法について以下の問いに答えよ。小数の場合は，小数点以下第 5
桁目を四捨五入すること。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解答欄に
マークしなさい。
(1)
「記数法」とは，適当な文字や記号と一定の規則を用いて数を表現する
方法である。普段使っている十倍ごとに位をとる表記法を「十進法」，
その数を「十進数」といい，0 から 9 までの 10 個の数字を使って表現し，
1，2，3，4，5，6，7，8，9 と順に増え，9 の次は位が増えて 10 になる。
このように十進法では，1，10，100，1000，10000…と位が繰り上がって
いく。1 は 10 の 0 乗（100），10 は 10 の 1 乗（101），100 は 10 の 2 乗（102），
1000 は 10 の 3 乗（10 3 ）…と表記することができる。例えば十進数で
1234(10)という数は，
1234(10) = 1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100
= 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1
と表記できる。十進法の他に，十六進法，八進法および二進法などの
記数法がある。ある進数で示された数値を，別の進数における数値へと
変換することを基数変換と言う。
今 N 進数 1101 (N)を十進数に基数変換すると，
1101(N) = 1 × N3 + 1 × N2 + 0 × N1 + 1 × N0
となる。七進数 1234(7)を十進数に基数変換すると
二進数 10111011(2)を十進数に基数変換すると
－9－
アイウ
エオカ
，
となる。
(2)
十進数 M ( 1 0 ) を N 進数に基数変換する場合， M を N で割った時の商を
M 1 余りを A1，M 1 を N で割った時の商を M 2 余りを A2，M2 を N で割った
時の商を M3(< N)余りを A3 とすると，
M(10) = M3 × N3 + A3 × N2 + A2 × N1 + A1 × N0
と表記できる。十進数 123(10)を七進数に基数変換すると
十進数で 13 (10)は二進数に直すと
(3)
コサシス
キクケ
，
となる。
十進法での小数の表現を考える。例えば，0.4321(10)は
0.4321(10) = 4 × 10−1 + 3 × 10−2 + 2 × 10−3 + 1 × 10−4
1
1
1
1
= 4×
+3×
+2×
+1×
10
100
1000
10000
となり，整数の場合と同じである。N 進数で 0.1101(N)を同様に表記すると
0.1101(N) = 1 × N−1 + 1 × N−2 + 0 × N −3 + 1 × N−4
となる。
七進数で 0.321(7)を十進数に直すと 0．
二進数で 0.10101 (2)を十進数に直すと 0．
(4)
セソタチ
ツテトナ
，
となる。
𝑥 = 1213 であるとき，十進法での表記を考える。𝑥 の桁数はニヌ桁で
1
ある。また，は小数第ネノ位にはじめて 0 でない数字が現れる。
𝑥
ただし，log 𝑒 2 = 0.6931 ，log 𝑒 3 = 1.0986 ，log 𝑒 10 = 2.3025 とする。
－10－
【問題 5】次の空欄を埋めなさい。なお，解答は解答用紙の問題に対応した解
答欄にマークしなさい。
𝑥 を km（キロメートル）で表したスタート地点からの走行距離，𝑦 を m（メー
トル）で表した標高として，10km のあるマラソンコースの勾配を調べたところ，
𝑦=
1 3 14 2 49
𝑥 − 𝑥 + 𝑥
5
5
5
という関係式で表すことができた。以下の問いに答えよ。
ゴール地点の標高は，
(2)
最も急な下り勾配となるのは，スタート地点からの走行距離が，
ウエ
km の地点である。
オ
(3)
この曲線上のスタート地点とゴール地点を結ぶ直線は，
𝑦=
(4)
アイ
m となる。
(1)
カ
キ
𝑥 と表すことができる。
この曲線と，この曲線上のスタート地点とゴール地点を結ぶ直線とで
囲まれた 2 つの図形のうち，面積が小さな方の図形の面積は，
クケコ
サシ
(5)
となる。
この曲線と，直線 𝑦 = 5𝑥 との交点のうち，スタート地点からの走行距離
が最も遠い地点における 𝑥 の値と 𝑦 の値の和 𝑥 + 𝑦 は，
－11－
スセ
となる。
大阪物療大学入試課
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