a + 3 - SUUGAKU.JP

1
a; b は定数で，ab > 0 とする．放物線 C1 : y = ax2 +b 上の点 P(t; at2 +b)
4
O を原点とする座標空間において四面体 OABC を考える．4ABC の重心を
における接線を ` とし，放物線 C2 : y = ax2 と ` で囲まれた図形の面積を
O0 ，4OBC の重心を A0 ，4OCA の重心を B0 ，4OAB の重心を C0 とする．
S とする．次の問いに答えよ．
次の問いに答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) ` と C2 のすべての交点の x 座標を求めよ．
(3) 点 P が C1 上を動くとき，S は点 P の位置によらず一定であることを示せ．
¡! ¡¡!
(1) 2 つのベクトル OA と O0 A0 は平行であることを示せ．
¡!
¡¡!
(2) jOAj と jO0 A0 j の比を求めよ．
(3) 4OAB と 4O0 A0 B0 は相似であることを示せ．
(4) A が P(1; 0; 0) と Q(0; 2; 0) を結ぶ線分の中点，B が Q と R(0; 0; 3)
2
以下の問いに答えよ．
を結ぶ線分の中点，C が R と P を結ぶ線分の中点であるとき，四面体 OABC
の体積 V と四面体 O0 A0 B0 C0 の体積 V0 を求めよ．
(1) n が正の偶数のとき，2n ¡ 1 は 3 の倍数であることを示せ．
(2) n を自然数とする．2n + 1 と 2n ¡ 1 は互いに素であることを示せ．
5
(3) p; q を異なる素数とする．2p¡1 ¡ 1 = pq2 を満たす p; q の組をすべて
(1) 等式 sin 3µ = 3 sin µ ¡ 4 sin3 µ が成り立つことを示せ．
¼
(2) 方程式 8x3 ¡ 6x + 1 = 0 が sin
を解にもつことを示せ．
18
(3) 方程式 8x3 ¡ 6x + 1 = 0 のすべての解が実数であることを示せ．
求めよ．
3
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
! ¡
!
4ABC の外心を O とし，OA = a ，OB = b ，OC = c とする． a ， b ，
¡
!
c は
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4a +3 b +5 c = 0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) 100 + 3 a ¢ b + 5 c ¢ a = 0 が成り立つことを示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) 4ABC の重心を G とするとき，jOGj の値を求めよ．
6
次の問いに答えよ．
鋭角三角形 ABC について，点 B，C から対辺に下ろした垂線をそれぞれ BD，
CE とし，2 線分 BD，CE の交点を F とするとき，次の各問に答えよ．
(1) BE ¢ BA + CD ¢ CA = BF ¢ BD + CF ¢ CE を示せ．
(2) BC2 = BE ¢ BA + CD ¢ CA を示せ．
7
n を自然数とするとき，等式
1¢(2n¡1)+2¢(2n¡3)+3¢(2n¡5)+Ý+(n¡1)¢3+n¢1 =
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
n(n + 1)(2n + 1)
6
8
p を素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 自然数 k が 1 5 k 5 p ¡ 1 を満たすとき，p Ck は p で割り切れることを示
せ．ただし，p Ck は p 個のものから k 個取った組合せの総数である．
(2) n を自然数とするとき，n に関する数学的帰納法を用いて，n p ¡ n は p で
10 n; m を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1) n 2 を 5 で割った余りは 0; 1 または 4 であることを証明せよ．
(2) n を 5 で割った余りが 4 のとき，n 2 + n は 5 の倍数であることを証明せよ．
(3) m > 1 のとき，m3 ¡ m が 6 の倍数であることを証明せよ．
割り切れることを示せ．
(3) n が p の倍数でないとき，n p¡1 ¡ 1 は p で割り切れることを示せ．
9
数列 fan g を
a1 =
3
;
4
an+1 = 1 ¡
1
4an
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．以下の問に答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6 を求めよ．また，それより一般項 an を推定せよ．
11 以下の問いに答えよ．
p
5 が無理数であることを証明せよ．
(2) 数学的帰納法により，(1) の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(1)
(3) n を正の整数とする．すべての実数 x に対して，不等式
p
(2) p を 0 でない有理数，q を有理数とするとき，p 5 + q が無理数であるこ
an x2 + x + 1 = an+1
が成り立つことを示せ．
(4) n を正の整数とする．すべての実数 x に対して，不等式
x2n + x2n¡1 + x2n¡2 + Ý + x2 + x + 1 = an
が成り立つことを示せ．
とを証明せよ．

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