2015 年度数学概論 IV・情報解析学演習問題 §14. 有理型函数 2016 年 1 月 26 日出題 [ 14.1 ] z = i が 1 位の極であって留数が 1，さらに z = 1 と z = 1 が極であっ 2 1 て，そこにおける特異部がそれぞれ z 2 + z ， 2 + z + 1 で，これら以外 (z + 1) には極はなく，しかも f (0) = i となるような有理型函数 f (z) をすべて求めよ． [ 14.2 ] f (z) := (z z5 を複素数の範囲で部分分数分解せよ． 1) (z 2 + z + 1) 2 [ 14.3 ] a1 , . . . , an は異なる複素数とし，多項式 P (z) := (z を考える．ただし，n は 2 以上の自然数である． n P 1 (1) 1 の留数を考えて， = 0 を示せ． 0 P (z) P (a j) j=1 n P (2) (1) と同様に考えて，k = 0, 1, . . . , n 1 に対して， j=1 a1 )(z a2 ) · · · (z an ) akj を求めよ． P 0 (aj ) [ 14.4 ] 写像 w = 1 により，次の図形はどんな図形に写されるか． z (1) 円 z ↵ = ↵ （ ↵ 2 C \ {0} は定数） (2) 直線 Re z = a (a 2 R) = 1 ，すなわち，逆写像が逆数に等しい 1 次分数変換 '(z) = az + b ' cz + d をすべて求めよ． z+i [ 14.6 ] '1 (z) := とし，n = 2, 3 . . . に対して 'n := '1 'n 1 とおくとき， iz + 1 閉区間 [ 1, 1 ] ⇢ R の像 'n ([ 1, 1 ]) を調べよ． [ 14.5 ] ' 1 【ヒント】実は，'1 は [14.5] の答えの一つである． [ 14.7 ] ↵ 2 C，0 < ↵ < 1 として，1 次分数変換 w = '(z) = z ↵ を考える． ↵z 1 (1) ' 1 = ' であることを示せ． (2) ' による円 Cr : z = r (0 < r < 1) の像 '(Cr ) はどんな円か．（アポロニウスの円：中心と半径は [1.18] で求めた．） (3) z < 1 のとき，次の不等式がなりたつことを示せ． z ↵ z + ↵ 5 z ↵ 5 1 ↵ z 1 ↵z 1+ ↵ z 【ヒント】直線 O↵ と円 '(Cr ) の交点を p, q とすると，次のようになる． r+ ↵ r ↵ p = , q = . 1+r ↵ 1 r ↵ 【注意】 z ↵ 5 z + ↵ かつ 1 ↵z 5 1 + ↵ z などより，問題の不等式は明らかとしてはいけない．この意味で，(3) はおもしろい不等式である．以上