n 1

数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学Ⅲ･数学A ･数学B)
１
(1)　1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけたカードをそれぞ
れ k 枚用意したのであるから，用意したカード全部の枚数は
n
P k =
k=1
(2)　N =
1
n n +1 1 (枚 )　… [答 ]
2 0
1
n n +1 1 とおく。 2 枚のカードの引き方は全部で N C 2 通り。
2 0
(i)　2( k ( n のとき
引いたカード 2 枚の番号が両方とも k であるような引き方は k C 2
通りであるから，求める確率は
k0 k - 1 1
C
2
k k-1 1
k 2
=
= 0
N0 N - 1 1
N0 N - 1 1
N C2
2
=
k0 k - 11
1
1
n0 n + 1 1 n 0 n + 1 1 - 1
2
2
>
?
4k0 k - 1 1
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
(ii)　k =1 のとき
=
引いたカード 2 枚の番号が両方とも 1 であるような引き方は 0 通り
であるから，求める確率は 0
(i)， (ii) より，求める確率は
4k0 k - 1 1
… [答 ]
0 n - 1 1n0 n + 1 10 n + 2 1
(3)　引いたカード 2 枚の番号が一致する確率は， (2) より
4k0 k - 1 1
k=1 0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
n 1
4
=
P 6 0 k - 1 1k0 k + 1 1 - 0 k - 2 10 k - 1 1k 7
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1 k=2 3
n
P
=
4
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
1
% 60 1 ･2 ･ 3 -0 1 + 0 2 ･ 3 ･ 4-1 ･2 ･ 3 1 + 0 3 ･ 4 ･5-2･ 3 ･ 4 1
3
+…… + 0 n -1 1n0 n +1 1 - 0 n -2 10 n -1 1n 7
4
1
=
% 0 n -11n0 n +1 1
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1 3
=
4
… [答 ]
30 n + 2 1
(4)　引いたカード 2 枚の番号が連続するのは， 1 から n -1 までの自然
数に対して，番号 k をつけたカードを 1 枚と番号 k +1 をつけたカー
ドを 1 枚引く場合であるから，求める確率は
n-1
P
k=1
n -1
= P
k=1
k
C 1 % k+1 C 1
N C2
2k0 k + 1 1
N0 N - 1 1
=
n-1
2
k0 k + 11
N0 N - 1 1 kP
=1
=
n
8
l0 l - 1 1
P
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1 l=1
8
1
% 0 n -1 1n 0 n +1 1
3
0 n - 1 1n 0 n + 1 10 n + 2 1
8
=
… [答 ]
30 n + 2 1
=
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学Ⅲ･数学A ･数学B)
２
(1)　OP= 0 x，y，z 1
とする。
AP= 0 x -1，y，z 1
BP + CP = 0 x，y - 1，z 1 + 0 x，y，z - 1 1
= 0 2x，2y - 1，2z - 1 1
AP ･ 0 BP +CP 1 =0 から
0 x -1 1 ･ 2x + y 0 2y -1 1 + z 0 2z -1 1 =0
0 2x 2 -2x1 + 0 2y 2 - y1 + 0 2z 2 - z 1 =0
x 2 - x + y 2 -
8
x -
1
2
2
y
z
+ z 2 - =0
2
2
9 8
+ y-
1
4
2
9 8
+ z-
1
4
6
= U
4
2
9 8 9 …①
2
よって，集合 S は球面である。　[終 ]
このとき中心 Q と半径 r は
Q
8
1 1
1
6
，，，r= U … [答 ]
2 4
4
4
9
(2)
R
Q
O 0 0，0，0 1
8
1 1
1
，，
2 4
4
9
S は原点を通る球面であるから求める点を R とすると
OR= 2OQ
1 1
= 1，，
2 2
8
9
したがって
1 1
R 1，， … [答 ]
2 2
8
9
(3)　AB= 0 -1，1，0 1 ， AC= 0 -1，0，1 1
AB， AC の両方に垂直なベクトルの 1 つを n = 0 a，b，c1 とおく。
n ･ AB=0，n ･ AC=0
より
-a + b =0， -a + c =0
a =1 とすると，b =1 ，c=1 なので
n = 0 1，1，1 1
平面 a 上の点を K 0 X，Y，Z1 とおく。 AK･ n =0 であるから
1･ 0 X -1 1 +1･ Y +1 ･ Z=0
ゆえに
X+ Y + Z=1
点 Q
8
1 1
1
，，
は上式を満たすから点 Q は平面 a 上にあ
2 4
4
9
る。　[終 ]
t
AQ= sAB + tAC
を満たす実数 s，t が存在するとき，点 Q は平面 a 上にある。
1 1
1
- ，， = s0 -1，1， 01 + t0 -1，0，1 1
2 4
4
= 0 -s - t，s，t1
8
9
s= t=
(4)　Q
8
1
のとき上式は成り立つので点 Q は平面 a 上にある。　4
1 1
1
，，
2 4
4
[終 ]
9 を通り，平面 a に垂直な直線 A 上の点を T とする
と， k を実数として
QT= kn
とおける。すなわち
OT= OQ + k0 1，1，1 1
1
1
1
+ k， + k， + k
=
2
4
4
8
9
よって
T
8
1
1
1
+ k， + k， + k
2
4
4
9
とできる。球面 S との共有点は x =
1
1
1
+ k，y = + k，z = + k を
2
4
4
①に代入して
k 2 + k 2 + k 2 =
k 2 =
3
8
1
8
すなわち
2
k = $ U
4
したがって
T
8
2 $U 2
1 $U 2
1 $U 2
，
，
(複号同順）　… [答 ]
4
4
4
9
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学Ⅲ･数学A ･数学B)
３
f n0 x 1 = x n+10 1 - x 1 = x n+1 - x n +2
(1)　f n-0 x 1 = 0 n +1 1x n - 0 n +2 1x n+1
= x n 6 n +1- 0 n +21x 7
p = a n として点 0 p, f0 p 1 1 における接線の方程式は
y - p n +10 1 - p 1 = p n60 n +1 1 - 0 n +2 1p 70 x - p 1
これが原点を通るので，x = y =0 を代入して
-p n +10 1- p 1 =- p n+160 n +1 1 - 0 n +2 1p 7
p n+1 ' 0 であるから両辺を -p n +1 で割ると
1- p = 0 n +1 1 - 0 n +2 1p
0 n +1 1p = n
p =
n
n+ 1
ゆえに
n
… [答 ]
n +1
a n =
(2)　0( x ( 1 において f n0 x 1 ) 0 より下図の斜線部分の面積が Bn である
から
y=f n 0 x1
Bn =
Q
1
0x
0
n+1
- x n +21dx
x n+2
x n+3
=
n +2
n+ 3
<
=
1
O
0
1
x
1
1
=
n+ 2
n +3
1
0 n + 2 10 n + 3 1
n
(1) より a n =
n +1
n
0< a n =
<1 であり，
n+ 1
f n0 x 1 ) 0 より右図の斜線部
=
… [答 ]
y=f n 0 x1
分の面積が C n であるから
C n =
Q
n
n +1
0
O
0x
n+1
-x
1 dx
n+2
an
1
x
=
<
=
n+2
n+3
x
x
n +2
n+ 3
1
n
n + 2 n +1
8
n
n +1
9
=
n
n +1
0
n +2
-
1
n
n + 3 n +1
8
9
n +3
1
n
n+ 2
0 n + 1 10 n + 3 1
n +2
8 9 >
?
n
2n + 3
=
･
8 n + 1 9 0 n + 1 10 n + 2 10 n + 3 1
=
n +2
… [答 ]
(3)　(2) より
Cn
n
=
Bn
n +1
n+2
2n + 3
n+ 1
8 9
n
n
2n + 3
=
･
8 n +1 9 8 n + 1 9 n +1
･
2
n
=
1
8
1+
1
n
9
n
･
1
8 9
1+
1
n
2
3
n
･
1
1+
n
2+
したがって
lim
n.*
Cn
2
= Bn
e
… [答 ]
数学（数学Ⅰ ･数学Ⅱ ･数学Ⅲ･数学A ･数学B)
４
(1)　A 0 t , 0 , 0 1 ， B 0 0 , t , 0 1 ， C 0 0 , 0 , t 1 とする。
(i)　0< t( 1 のとき
z
1
t C
1
t
O
t
B 1
A
y
x
立方体を切った切り口は， 1 辺の長さが U 2 t の正三角形 ABC であ
るから
f 0 t1 =
1
2
･0U 2 t1 ･ sin 60,
2
3
= U t 2
2
(ii)　1( t( 2 のとき
z
t C
1
T
S
R
U
1
O
1
Q
A
B
t
P
t
y
x
P 0 1 , t -1 , 0 1 ， Q 0 t-1 , 1 , 0 1 ， R 0 0 , 1 , t -1 1 ， S 0 0 , t -1 , 1 1 ，
T 0 t-1 , 0 , 1 1 ， U 0 1 , 0 , t -1 1 とすると，立方体を切った切り口
は六角形 PQRSTU であり，△ APU ，△ BRQ ，△ CTS はすべて
合同な 1 辺の長さが U 2 0 t-1 1 の正三角形であることから
f 0 t1 = △ABC-3△APU
=
1
1
2
2
･0U 2 t1 ･ sin 60, -3 % ･ 6U 2 0 t- 1 17 ･ sin 60,
2
2
3 3
=-U 3 t 2 +3U 3 t- U
2
8
=-U 3 t-
3
2
9
2
3 3
+ U
4
(iii)　2( t<3 のとき
z
t C
1
E
F
O
1
1
D
B
t
y
A
x
t
D 0 1 , 1 , t -2 1 ， E 0 t-2 , 1 , 1 1 ， F 0 1 , t -2 , 1 1 とすると，点
0 1 , 1 , 1 1 と点 D ， E ， F の距離はすべて
1- 0 t-2 1 =3- t
である。したがって，立方体を切った切り口は， 1 辺の長さが
U 2 0 3 - t1 の正三角形 DEF であるから
f 0 t1 =
1
2
･ U 2 0 3- t17 ･ sin 60 ,
2 6
3
= U 0 t- 3 1 2
2
(i) ， (ii) ， (iii) とf 0 0 1 = f 0 3 1 =0 より
3
0( t( 1 のとき　f 0 t1 = U t 2
2
3 3
1( t( 2 のとき　f 0 t1 =-U 3 t 2 +3U 3 t- U … [答 ]
2
3
2( t( 3 のとき　f 0 t1 = U 0 t- 3 1 2
2
(2)　(1) の結果から，f 0 t1 のとりうる値の範囲は
3
0( t( 1 のとき　0( f 0 t 1 ( U
2
3
3 3
1( t( 2 のとき　U ( f 0 t 1 ( U
2
4
3
2( t( 3 のとき　0( f 0 t 1 ( U
2
ゆえに，f 0 t1 の 0 ( t( 3 における最大値は t =
3
3 3
のとき U … [答 ]
2
4
(3)　(1) より
3
Q f 0 t 1 dt
0
U 3 t 2dt+
2
Q
1
0
3
Q8
3 3
-U 3 t 2 + 3U 3 t- U
dt+
2
U 3 t- 3 2dt
1
2 0
9 Q
U 3 t + - U 3 t + 3U 3 t - 3U 3 t + U 3 0 t- 31
=
2 <3 = <
3
2
2 =
2 < 3 =
=
2
1
1
2
3
0
2
1
3
2
3
3
2
= U 3 … [答 ]

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