2015年度入学前プログラム No. 2 (解答と配点)

2015 年度入学前プログラム No. 2 (解答と配点)
赤い数字は、配点です
VI. 平面上のベクトル (合計 25 点)
−→
1. (1) ⃗a + AB = ⃗b より
−→
答. AB = ⃗b − ⃗a (2 点)
−→
−→
(2) CO = ⃗a より CB = ⃗a + ⃗b。
−→
答. BC = −⃗a − ⃗b (2 点)
−→
−→
(3) BD = 2BO より
−→
答. BD = −2⃗b (2 点)
−→ −→ −→
(4) CD + DA = CA より
−→ −→
答. CD − AD = 2⃗a (2 点)
2. (|⃗a + ⃗b|2 = 7 を利用)
(1) |⃗a + ⃗b|2 = |⃗a|2 + |⃗b|2 + 2⃗a · ⃗b により、22 + 32 + 2⃗a · ⃗b = 7 である。2⃗a · ⃗b = −6 より
⃗a · ⃗b = −3
答. −3 (2 点)
(2) cos θ =
⃗
a·⃗b
|⃗
a||⃗b|
=
−3
2·3
= − 12 である。0◦ 5 θ 5 180◦ より θ = 120◦
答. 120◦ (2 点)
(3) |⃗a − 3⃗b|2 = |⃗a|2 + 9|⃗b|2 − 6⃗a · ⃗b = 22 + 9 · 32 − 6 · (−3) = 103 である。|⃗a − 3⃗b| > 0 より
√
|⃗a − 3⃗b| = 103
√
答. 103 (2 点)
3. (△ABN と △ACM それぞれにおいて AP を分点の位置ベクトルとして表す)
−→
−→
−→
BP : PN = s : (1 − s), CP : PM = t : (1 − t) とおくと、AP = (1 − s)AB + sAN =
−→
−→
−−→
(1 − s)⃗b + 35 s⃗c・
・
・(1)。. また AP = (1 − t)AC + tAM = (1 − t)⃗c + 32 t⃗b・
・
・(2)。(1), (2) によ
2 ⃗
2
3
⃗
り、(1 − s)b + 5 s⃗c = (1 − t)⃗c + 3 tb である。係数比較して、1 − s = 3 t, 35 s = 1 − t (⃗b ̸= ⃗0,
⃗c ̸= ⃗0, ⃗b と ⃗c は平行でないことに注意) である。これを解いて s = 59 , t = 32 となる。よって
−→ 4⃗ 1
AP = b + ⃗c
9
答.
4⃗
9b
+
3
1
c
3⃗
(5 点)
4. (異なる 2 点 A (⃗a), B (⃗b) を通る直線のベクトル方程式を利用)
1
2 点 (−3, 2), (2, −4) を通る任意の点を (x, y) とすると、(x, y) = (1 − t)(−3, 2) + t(2, −4) =
(−3(1 − t) + 2t, 2(1 − t) − 4t) = (5t − 3, −6t + 2) となる。よって
{
x = 5t − 3・
・
・(1)
y = −6t + 2・
・
・(2)
（ただし t は媒介変数）となる。6 × (1) + 5 × (2) を計算して t を消去すれば、6x + 5y + 8 = 0
を得る。
答. x = 5t − 3, y = −6t + 2 (3 点), 6x + 5y + 8 = 0, (3 点)
VII. 空間座標とベクトル (合計 22 点)
−−→ −→ −→ −−→
1. OM = OA + AF + FM = ⃗a + ⃗b + 21 ⃗c
−→ −→ −→
GC = GH + HC = −⃗a − ⃗b
−→ −→ −→ −→
AH = AO + OC + CH = −⃗a + ⃗c + ⃗b = −⃗a + ⃗b + ⃗c
−−→ −→ −→ −−→ ⃗
CM = CH + HG + GM = b + ⃗a − 12 ⃗c = ⃗a + ⃗b − 21 ⃗c
−−→
−→
答. OM = ⃗a + ⃗b + 12 ⃗c (2 点), GC = −⃗a − ⃗b, (2 点)
−−→
−→
AH = −⃗a + ⃗b + ⃗c (2 点), CM = ⃗a + ⃗b − 12 ⃗c, (2 点)
2. d⃗ = l⃗a + m⃗b + n⃗c より
(−2, −2, 4) = l(2, 1, 3) + m(−1, 0, 1) + n(2, 3, 1) = (2l − m + 2n, l + 3n, 3l + m + n)。した
がって 2l − m + 2n = −2, l + 3n = −2, 3l + m + n = 4 である。これを解いて l = 1, m = 2,
n = −1 である。よって d⃗ = ⃗a + 2⃗b − ⃗c
答. ⃗a + 2⃗b − ⃗c (5 点)
−→
−→
3. (1) AB = (−3−(−2), 1−1, 4−3) = (−1, 0, 1), AC = (−3−(−2), 3−1, 5−3) = (−1, 2, 2) であ
√
√
−→ −→
−→
る。よって AB· AC = (−1)×(−1)+0×2+1×2 = 3 となる。|AB| = (−1)2 + 02 + 12 = 2,
−→ −→
√
−→
3
AB·AC
|AC| = (−1)2 + 22 + 22 = 3 により、cos θ = −
= √12 である。0◦ < θ <
→ −→ = √
2×3
|AB||AC|
180◦ より θ = 45◦
答. 45◦ (2 点)
−→ −→
(2) S = 12 |AB||AC| sin θ より、S =
答.
3
2
1
2
×
√
2 × 3 × sin 45◦ =
3
2
(2 点)
−→
−→
−→
−→
−→
4. OA = ⃗a, OB = ⃗b, OC = ⃗c とすると、点 P は直線 OQ 上にあるので OP = k OQ = k(⃗a + ⃗b +
−
→
−→ −→
3
c) = k⃗a+k⃗b+ 35 k⃗c・
・
・(1) である。また、点 P は平面 ABC 上にあるので、AP = sAB+tAC と表
5⃗
−→ −→
−→ −→
−→ −→
−→
−→ −→ −→
わせる。よって OP−OA = s(OB−OA)+t(OC−OA) より、OP = (1−s−t)OA+sOB+tOC =
(1 − s − t)⃗a + s⃗b + t⃗c・
・
・(2)。4 点 O, A, B, C は同一平面上にないから、(1), (2) の係数比
−→
5
5 −→
である。OP = 13
OQ であるから
較をすると k = 1 − s − t, k = s, 35 k = t により、k = 13
OP : PQ = 5 : 8
答. 5 : 8 (5 点)
VIII. 導関数 (合計 12 点)
2
1. (1)
y の変化量
x の変化量
=
f (1+h)−f (1)
(1+h)−1
=
(1+h)2 −(1+h)−0
h
=
h2 +h
h
=
h(h+1)
h
=h+1
答. h + 1 (3 点)
(2) x の変化量を限りなく 0 に近づけたものが微分係数であるから、f ′ (1) = lim
h→0
f (1 + h) − f (1)
=
(1 + h) − 1
lim (h + 1) = 1
h→0
答. 1 (3 点)
2. f (x) = −x2 + 3x とおくと f ′ (x) = −2x + 3 である。接点を P(a, −a2 + 3a) とすると、接線の
傾きは f ′ (a) = −2a + 3 である。よって接線の方程式は、y − (−a2 + 3a) = (−2a + 3)(x − a)
であり、この式を整理すると y = (−2a + 3)x + a2 ・
・
・(1)
y
4
3
Pa a + 3a)
2
1
O
1
2
3
4
x
1
(1) が点 (1, 3) を通るから、3 = (−2a + 3) × 1 + a2 である。よって a2 − 2a = 0, a(a − 2) = 0
によって、 a = 0, 2 である。これらを (1) に代入して、a = 0 のとき y = 3x、a = 2 のとき
y = −x + 4 となる。
答. y = 3x, y = −x + 4 (6 点)
IX. 不定積分 (合計 19 点)
1. (1) 与式 =
x3
3
− 2x2 + 2x + C
x3
3
− 2x2 + 2x + C (3 点)
∫
(2) 与式 = (−3x2 − 5x + 2)dx = −x3 − 52 x2 + 2x + C
答.
答. −x3 − 52 x2 + 2x + C (3 点)
∫
∫
∫
(3) 与式 = {(t + 2)(t(t − 1) − (t2 − 1))}dt = (t + 2)(−t + 1)dt = (−t2 − t + 2)dt =
3
− t3 −
t2
2
3
+ 2t + C
答. − t3 −
t2
2
+ 2t + C (3 点)
∫ ′
∫
2. (1) f (x) = f (x)dx = (3x2 − 2x)dx = x3 − x2 + C である。f (2) = 0 より、f (2) =
23 − 22 + C = 0 である。よって C = −4 であり、f (x) = x3 − x2 − 4
答. f (x) = x3 − x2 − 4 (5 点)
(2) 曲線 y = f (x) 上の点 (x, f (x)) における接線の傾きは、f ′ (x) である。f ′ (x) = x2 − 1 で
∫
∫
3
あるので、f (x) = f ′ (x)dx = (x2 − 1)dx = x3 − x + C である。また、曲線 y = f (x) は点
(1, 0) を通るから、f (1) = 0 より
13
3
− 1 + C = 0。よって、C =
3
2
3
であり、f (x) =
x3
3
− x + 32
答. f (x) =
x3
3
−x+
2
3
(5 点)
X. 極限 (合計 22 点)
2+
n→∞ 1 +
1. (1) 与式 = lim
3
n
1
n
=2
答. 2 (1 点)
√
√ √
√
( n + 1 − n)( n + 1 + n)
1
√
(2) 与式 = lim
= lim √
√
√ =0
n→∞
n→∞
n+1+ n
n+1+ n
答. 0 (1 点)
(3) −1 5 sin nθ 5 1 より − n1 5
1
lim
sin nθ = 0
n→∞ n
答. 0 (1 点)
1
n
sin nθ 5
1
n
1
1
である。 lim (− ) = 0, lim
= 0 より、
n→∞
n→∞ n
n
( 45 )n − 1
= −1
n→∞ ( 3 )n + 1
5
(4) 与式 = lim
答. −1 (1 点)
1
(5) 与式 = lim log2 3 n = lim
n→∞
n→∞
1
log2 3 = 0
n
答. 0 (1 点)
(6) 与式 = lim
x→−1
答.
1
3
答.
1
√
2 2
x(x + 1)
x
1
= lim
=
(x + 1)(x − 2) x→−1 x − 2
3
(1 点)
√ √
√
√
( x + 1 − 2)( x + 1 + 2)
1
1
√
√ = √
(7) 与式 = lim
= lim √
√
x→1
x→1
(x − 1)( x + 1 + 2)
x+1+ 2
2 2
(1 点)
3·
x→0 2 ·
(8) 与式 = lim
答.
3
2
sin 3x
3x
sin 2x
2x
=
3×1
3
=
2×1
2
(1 点)
(1 − cos x)(1 + cos x)
sin2 x
1
sin x 2
1
=
lim
= lim
(
) =
2
2
x→0
x→0 x (1 + cos x)
x→0 1 + cos x
x (1 + cos x)
x
2
(9) 与式 = lim
答.
1
2
(1 点)
(10) 与式 = lim
2x
=0
+1
x→−∞ ( 3 )x
2
答. 0 (1 点)
0
rn+1
=
=0
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + r n
1+0
rn+1
1
1
(ii) r = 1 のとき。 lim rn = lim rn+1 = 1 であるので、 lim
=
=
n
n→∞
n→∞
n→∞ 1 + r
1+1
2
n+1
1
r
(iii) r > 1 のとき。0 < 1r < 1 より、 lim ( )n = 0 である。よって lim
=
n→∞ r
n→∞ 1 + r n
r
r
=
=r
lim
n→∞ ( 1 )n + 1
0+1
r
2. (i) 0 < r < 1 のとき。 lim rn = lim rn+1 = 0 であるので、 lim
4
答. 0 < r < 1 のとき 0 に収束、r = 1 のとき
1
2
に収束、r > 1 のとき r に収束 (6 点)
√
3. (ヒント: x → 1 のとき、分母 x − 1 → 0 であるから、極限値が 2 であるためには、分子
√
√
a x + 1 − b → 0 である (そうでないときは、極限値が 2 になることはない)。このとき、極
√
f (x)
限を計算して 2 となるように a, b の値を定める。つまり、 lim
= α かつ lim g(x) = 0
x→c g(x)
x→c
なら lim f (x) = 0 である。)
x→c
√
√
ヒントより lim (x−1) = 0 なので lim (a x + 1−b) = 0 である。よって 2a−b = 0 より b =
x→1
x→1
√
√
√ √
√
√
√
√
√
a( x + 1 − 2)
( x + 1 − 2)( x + 1 + 2)
a x + 1 − 2a
√
= lim
= a· lim
2a・
・
・(1) となる。lim
=
√
x→1
x→1
x→1
x−1
x−1
(x − 1)( x + 1 + 2)
1
a
(x + 1) − 2
√ = a · lim √
√ = √ であり、この値が与式の右辺
a · lim
√
x→1 (x − 1)( x + 1 +
x→1
x+1+ 2
2 2
√
√ 2)
√
a
2 に等しいから 2√
=
2,
よって
a
=
4
である。この値を
(1) に代入して b = 4 2
2
√
答. a = 4, b = 4 2 (6 点)
5

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