テスト（微分積分）

微分積分学演習第二（U クラス）小テスト略解（12/8）
t9-2. y ′ (t) = (1 + 2t)(1 + y 2 (t)) を満たす y(t) を求めよ。
答え： y(t) = tan(t2 + t + C).
t9-1. y ′ (t) = 1 − y(t), y(0) = 0 を満たす y(t) を求めよ。
解説. 変数分離形になっおり、
配点：2 点
y ′ (t)
= 1 + 2t
1 + y 2 (t)
答え： y(t) = 1 − e−t .
解説. 変数分離形になっおり、
と変形できる。これを t について、不定積分すると、
′
y (t)
=1
1 − y(t)
と変形できる。これを t について、不定積分すると、
log |1 − y| = t + C
である（C は定数）ので、
1 − y(t) = ±eC et
となり、y(0) = 0 となるためには、±eC = 1 であれば良い。
arctan y = t2 + t + C
である（C は定数）。
t9-3. y ′ (t) =
t − y(t)
を満たす y(t) を求めよ。
t + y(t)
配点：2 点
答え： y(t) = −t ±
√
t9-4. y ′ (t) + (tan t)y(t) = cos2 t, y(0) = 1 を満たす y(t) を求めよ。
配点：2 点
答え： y(t) = (1 + sin t) cos t
2t2 + C.
解説. 一階線形微分方程式なので、積分因子を探して解いてみる。全体に µ(t)
解説.
y ′ (t) =
1 − y(t)/t
1 + y(t)/t
は同次形であるので、z(t) = y(t)/t と置き換えると、
tz ′ (t) + z(t) =
1 − z(t)
1 + z(t)
だから、
1
1+z
z′ =
2
(1 − 2z − z )
t
となる。(1 − 2z − z 2 )′ = −2(1 + z)z ′ であることに注意して、これを t につ
をかけると、
y ′ (t)µ(t) + y(t)µ(t)(tan t) = µ(t) cos2 t
これが、(y(t)µ(t))′ =「t の関数」となれば良い。
(y(t)µ(t))′ = y ′ (t)µ(t) + y(t)µ′ (t) = y ′ (t)µ(t) + y(t)µ(t)(tan t)
である（C は定数）。従って、
1 − 2z − z 2 = ±e−2C t−2
であるが、z = y/t であったので、定数を A = ±e−2C とすれば、
y 2 + 2ty − t2 + A = 0
となる。なお、y について二次方程式を解けば、答えの表示となる。
(2)
であれば良いので、
µ′ (t) = µ(t) tan(t)
となる µ を見つければ良い。これは変数分離形なので、解を一つみつけると、
いて不定積分すると、
−1
log |1 − 2z − z 2 | = log |t| + C
2
(1)
µ(t) =
1
cos t
が求まる。これを (1), (2) に代入すると、
(
y(t)
cos t
)′
= cos t
となり、両辺を t で不定積分すると、
y(t) = (C + sin t) cos t
（C は定数）となるが、y(0) = 1 より C = 1 を得る。

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