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2014/5/29
情報科学科・応用生命システム工学科
数学Ⅰ
中間試験
解答
1.(10 点)
y
y
y
1
y
f  tan( ), f x   2 sec 2 ( ), f y  sec 2 ( ), F  xf x  yf y  0
x
x
x
x
x
答
F 0
2.(10 点)
1
1
f  e cos(x  y )1 , f  f (0,0)  {xf x (0,0)  yf y (0,0)}  {x 2 f xx (0,0)  2 xyf xy (0,0)  y 2 f yy (0,0)}    
1!
2!
f x  f y  e cos(x  y )1 sin( x  y), f xx  f xy  f yy  e cos(x  y )1{sin 2 ( x  y)  cos( x  y)}
f (0,0)  1, f x (0,0)  f y (0,0)  0, f xx (0,0)  f xy (0,0)  f yy (0,0)  1 より
f 1
1 2
1
( x  2 xy  y 2 )      1  ( x  y) 2    
2!
2
答
f 1
1
( x  y) 2    
2
3.(10 点)
x 2  y 2  z 2  1, xyz  2 の両式を x で微分する．
x z
 yz xy
y( z 2  x 2 )


yy   zz    x, xzy   xyz    yz より， y 
y z
x( y 2  z 2 )
xz xy
y x
xz  yz z ( x 2  y 2 )

z 

y z
x( y 2  z 2 )
xz xy
答
y 
y( z 2  x 2 )
z( x 2  y 2 )

，z 
x( y 2  z 2 )
x( y 2  z 2 )
4.(10 点)
f x  3( x 2  y 2  4 x)  0, f y  2 y(3x  2)  0 から y  0, or x 
2
． y  0 のとき
3
f x  3( x 2  4 x)  0 から x  0, or x  4 よって (0,0), (4,0) を得る． x 
2
のとき
3
2 5
2 2 5 2 2 5
20
よって ( ,
), ( ,
) を得る． f xx  6( x  2)  A,
 0 から y  
3
3 3
3
3
3
 6 y  B, f yy  6 x  4  C, D  B 2  AC  12{3 y 2  ( x  2)(3x  2)} とする． (0,0) のとき
f x  3y 2 
f xy
A  12  0, D  48  0 よって f (0,0)  8 は極大値． (4,0) のとき A  12  0, D  240  0 よ
2 2 5
2 2 5
) のとき D  80  0 より極値でない．同じく ( ,
)
3 3
3
3
って f (4,0)  24 は極小値． ( ,
1
のとき D  80  0 より極値でない．
f (0,0)  8 は極大値， f (4,0)  24 は極小値
答
5.(10 点)
f ( x, y)  x 3  9 xy  y 3  0, f x  3( x 2  3 y), f y  3( y 2  3x), f xx  6 x
y  
fx
f
x2
2
を得る．
, y    xx である．y   0 より f x  3( x  3 y)  0 である．これから y 
3
fy
fy
これを f  0 に代入し f  x 3 (
x3
 2)  0 となる．これより x  0 or x  3 54  33 2 となる．
27
x  0 のとき y  0 これは f y  0 になるため y  が存在しないので除く． x  33 2 のとき
y
f
x2
6x
2
3
 33 4 となる．このとき y    xx   2
   0 である．よって x  3 2 の
3
fy
3
3y  9x
とき極大値 y  33 4 となる．
答 x  33 2 のとき極大値 y  33 4
6.(10 点)
g  x 4  y 4  32  0, f  x  y であるから， F  f  g  x  y   ( x 4  y 4  32) とおく．
F  x 4  y 4  32  0, Fx  1  4 x 3   0, Fy  1  4 y 3   0 より   
1
1
  3 である．こ
3
4x
4y
れより y  x を得る．よって g  2 x 4  32  0 より x  2, y  2 となる．このとき f  2
f (2,2)  4 が最大値， f (2,2)  4 が最小値となる．
答
f (2,2)  4 が最大値， f (2,2)  4 が最小値
7.(10 点)
f 
2y
x2 y2 z2
2x
2z
 2  2  1, P( x 0 , y 0 , z 0 ), f x  2 , f y   2 , f   2 より
2
a
b
c
a
b
c
答接平面
2 x0
2y
2z
x  x0 y  y 0 z  z 0
( x  x 0 )  20 ( y  y 0 )  20 ( z  z 0 )  0 ，法線


2
2 x0
2 y0
2z
a
b
c
 2
 20
2
a
b
c
8.(10 点)
f  y2  x2 
1 3
x  0, f x  2 x  x 2  0, f y  2 y  0 から y  0, f x   x( x  2)  0 である．よ
3
って x  0, or x  2
f   x 2 (1 
1
x)  0 より特異点は (0,0) である． f xx  A  2  2 x,
3
f xy  B  0, f yy  C  2, D  B 2  AC  4(1  x)  4  0 から特異点は結節点である．
y2  x2 
1 3
x
x  x 2 (1  )  0 より x  3 である． y   x 1  x , y  x 1  x , y   x  2
3
3
3
3
x
2 1
3
2
答
特異点(0,0)は結節点
y
y  x 1
(2,
2 3
)
3
(0,0)
(3,0)
x
 0
y
y
2
3
0

2 3
3
0
x
3
(2,
x
2 3
)
3
y  x 1 
x
3
0
増減表
グラフ結節点(0,0)
9.(10 点)
f  y  ( x   ) 4  4 , f   4( x   ) 3  4  0, x    1 から   x  1 これを
y  ( x   ) 4  4 に代入すれば， y  4 x  3 を得る．特異点の有無を検証する．
f x  4( x   ) 3  0, f y  1  0 より特異点は存在しない．答
包絡線は y  4 x  3
10.(10 点)
t
x   2  6t , y   
(1  t 2 )
x (1)  8, y (1)  
3
2
, z 
1  2t
2 1 t  t2
， t  1 のとき x(1)  6, y (1) 
2
, z (1)  3
2
2
3
から
, z (1) 
4
2
2
x6
2  z  3 法平面 8( x  6)  2 ( y  2 )  3 ( z  3 )  0

答接線
8
4
2
2
2
3

4
2
y
3

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