11 1変数関数の微分（2）逆関数テイラーの定理

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１変数関数の微分（２）逆関数テイラーの定理
基本事項
1 逆関数の性質 (逆関数の定義は教科書 p89 を参照)
(1) f は区間 [a, b] で狭義単調増加（または狭義単調減少）な連続関数とする. α = f (a), β = f (b) とおくとき,
閉区間 [α, β]（または [β, α]）で定義された逆関数 f −1 が定まり，f −1 も狭義単調増加（または狭義単調減少)
な連続関数である．
(2) f (x) が (a, b) で微分可能で，(a, b) でつねに f ′ (x) > 0（または f ′ (x) < 0）とする．y = f (x) の逆関数を
x = f −1 (y) (y ∈ f (I)) とするとき，x = f −1 (y) は J 上で微分可能で
2 Taylor の定理
d −1
1
f (y) = ′
．
dy
f (x)
x ̸= a とし, f が [a, x]（または [x, a]）で n 回微分可能とすると, ある ξ ∈ (a, x)（または
ξ ∈ (x, a)）が存在して,
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f (n−1) (a)
f ′′ (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n−1 + Rn
|{z}
2!
(n − 1)!
f (n) (ξ)
Rn =
(x − a)n ← Lagrange の剰余項
n!
剰余項
が成り立つ. (剰余項の表し方は Lagrange の剰余項の他にも色々な方法がある.)
※ ∞
∑
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n を f の a を中心とした Taylor 級数という.
3 Taylor 展開可能性 f が [a, b]（または [b, a]）で無限回微分可能で, ある定数 M, C に対して, [a, b]（また
n
は [b, a]）上で |f (n) (x)| <
= M C (n = 0, 1, 2, . . .) が満たされていれば,
f (x) =
∞
∑
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
が任意の x ∈ [a, b]（または x ∈ [b, a]）に対して成り立つ.
ex − e−x と cosh x := ex + e−x について考える.
2
2
√
−1
−1
(1) sinh x の逆関数 sinh x が R 上で定まり, sinh x = log(x + 1 + x2 ) であることを示せ.
【11−1】双曲線関数 sinh x :=
(2) cosh x は定義域を (0, ∞) に制限すれば, その逆関数 cosh−1 x が (1, ∞) 上で定まり,
√
cosh−1 x = log(x + x2 − 1 ) であることを示せ.
【11−2】 f (x) = tan−1 x について, 次の問に答えよ．
(1) n ≥ 2 の自然数について
(1 + x2 )f (n) (x) + (n − 1)2xf (n−1) (x) + (n − 1)(n − 2)f (n−2) (x) = 0
を示せ．
(2)
f (n) (0) を求めよ．
【11−5】次の関数を x = 0 のまわりで Taylor 展開 (即ち, Maclaurin 展開) せよ. ただし, Taylor 展開
可能性をきちんと確認すること.
(2) ex
(1) sin x
(3) sin2 x
(4) xex
【11−6】次の値の近似値を小数点以下 3 位まで求めよ.
(1) e0.1
(2) sin
3
10
【11−7】次の関数を x = 0 のまわりで Taylor 展開 (即ち, Maclaurin 展開) せよ.
(1) log(1 + x)
(−1 < x <
= 1)
(2) tan−1 x
(|x| <
= 1)

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