解答PDFダウンロード

2015 早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学解答例
[I]
−x
(1) f (−x) = √
= −f (x) より関数 f (x) は奇関数である．
1 + (−x)2
よって，x = 0 の範囲で調べれば十分である．
1
x2
1
−
3 =
3 > 0 (x = 0)
2
2
1+x
(1 + x ) 2
(1 + x2 ) 2
3x
f 00 (x) = −
(x = 0) · · · · · · °
1
5 5 0
(1 + x2 ) 2
f 0 (x) = √
f (0) = 0 であるから，以下の増減表が得られる．
x
0
···
f (x)
f 00 (x)
0
f (x)
0
+
−
®
0
また， lim f (x) = lim √
x→∞
x→∞
1
1
1+ 2
x
= 1 である．
対称性より，y = f (x) のグラフの概形は次図．
(2) x = f 0 (t)
y = f (t) − tf 0 (t)
それぞれ，t で微分すると，°
1 より
dx
= f 00 (t) < 0
dt
dy
= f 0 (t) − f 0 (t) − tf 00 (t) = −tf 00 (t) > 0
dt
となる．また，これらより
dy
= −t < 0，
dx
d2 y
d
=
2
dx
dx
(
dy
dx
)
=
d
1
(−t) = − 00
>0
dx
f (t)
となり， lim x = 1， lim x = 0， lim y = 0， lim y = 1 であるから，以下の増減表が得られる．
t→∞
t→+0
x
dy
dx
d2 y
dx2
y
0
···
t→∞
t→+0
1
−
+
1
0
よって，曲線の概形は次図．
(注)
2
2
t を消去すると曲線の方程式は x 3 + y 3 = 1（アステロイド）となる．
(3) t = p (p > 0) での接線の方程式は
y − {f (p) − pf 0 (p)} = −p{x − f 0 (p)}
y − f (p) = −px
(
である．よって，y 切片は (0，f (p))，x 切片は
)
f (p)
，0 となる．
p
したがって，(2) の曲線の接線が x 軸と y 軸によって切り取られてできる線分の長さの２乗は
{f (p)}2 +
1 + p2
{f (p)}2
2
=
{f (p)}
p2
p2
=
となる．よって示された．
1 + p2
p2
·
=1
p2
1 + p2
[ II ]
(1) u = ax + 2by ，v = bx + ay ，u2 − 2v 2 = :1
::::::::
:::::::
x2 − 2y 2 = 1 · · · · · · °
1
√
√
1 < x + y 2 5 3 + 2 2 ······°
2
√
°
\ 0 なので，°
2 より，x + y 2 =
1 より
(2)
√
x−y 2=
1
√
x+y 2
が成り立つ．°
2 を用いると
√
1
√ 5x−y 2<1
3+2 2
√
√
1
√ = −3 + 2 2 · · · · · · °
− 1 < −x + y 2 5 −
3
3+2 2
°
2 ，°
3 より
√
√
0 < 2 2y 5 4 2
0<y52
よって，y = 1，2 である．
（ア）
y = 1 のとき
°
1 より
x2 = 3
これを満たす整数 x は存在しないので不適．
（イ）
y = 2 のとき
°
1 より
x2 = 9
x = ±3
x = −3，y = 2 のとき°
2 を満たさないので不適．
以上より
x = 3，y = 2
となるので，示された．
(3) 命題 (P )
√
√
√
√
√
「°
1 を満たす整数 x，y について，(3 + 2 2)n−1 < x + y 2 5 (3 + 2 2)n のとき，x + y 2 = (3 + 2 2)n 」
を数学的帰納法により証明する．
（ウ）
n = 1 のとき
(2) より，命題 (P ) は正しい．
（エ）
ある自然数 n で命題 (P ) が正しいと仮定する．
°
1 を満たす整数 x，y が
√
√
√
(3 + 2 2)n < x + y 2 5 (3 + 2 2)n+1 · · · · · · °
4
を満たすとする．°
4 の辺々に
√
1
√ = 3 − 2 2 を乗じると
3+2 2
√
√
√
(3 + 2 2)n−1 < 3x − 4y + (3y − 2x) 2 5 (3 + 2 2)n
となる．2 つの整数 3x − 4y ，3y − 2x は，°
1 より
(3x − 4y)2 − 2(3y − 2x)2 = x2 − 2y 2 = 1
を満たす．ここで
√
√
x+y 2
√ = 3x − 4y + (3y − 2x) 2
3+2 2
に注意すると，仮定より
√
√
x+y 2
√ = (3 + 2 2)n
3+2 2
√
√
x + y 2 = (3 + 2 2)n+1
となるので，命題 (P ) は n + 1 でも正しい．
よって，（ウ），（エ）より，数学的帰納法により示された．
[ III ]
(1) 方程式 f (x) = 0 と g(x) = 0 が共通解 α を持つとすると
{
α2 + aα + 1 = 0 · · · · · · ⃝
1
2
−α − bα + 1 = 0 · · · · · · ⃝
2
⃝
1 +⃝
2 より
(a − b)α + 2 = 0
a = b のとき, これを満たす α は存在しないので, 不適．よって
a ̸= b
このとき
α=−
2
a−b
······⃝
3
となる．
また, ⃝
1 −⃝
2 より
(2α + a + b)α = 0
⃝
3 より, α ̸= 0 なので
α=−
a+b
2
······⃝
4
となる．よって, 共通の解を持つ条件は, ⃝
3, ⃝
4 より
−
a+b
2
=−
a−b
2
かつ
a ̸= b
ゆえに
2
a:::::::::
− b2 = 4
······⃝
5
となる．
(2) f ′ (x) = 2x + a であり, ⃝
4 より
f ′ (α) = −b
となる．よって
ℓ：y = −b(x − α)
であり, これと y = g(x) の交点を考えると
−b(x − α) = −x2 − bx + 1
x2 + bα − 1 = 0
⃝
2 より
x2 − α 2 = 0
x = ±α
a ≧ 0, b ≧ 0 と⃝
4 ，⃝
5 より
√
α ≦ 0, a = b2 + 4
であるから
∫
−α
S=
−(x − α)(x + α)dx
α
1
(−2α)3
6
1
= (a + b)3
6
)3
1 (√ 2
=
b +4+b
6
=
これは, b について単調増加関数であるから, b = 0，a = 2 のとき, 最小値
4
3:
をとる．
[ IV ]
(1) B の引いたカードに書かれた数を b とする．このとき，一般の K について，A の発言が「上」のとき，
B は「K < b」つまり「K は b − 1 以下の数である」という情報を得る．一方，A の発言が「以下」のとき，
B は「K ≧ b」つまり「K は b 以上の数である」という情報を得る．
(ア) K = 1 のとき，2 のカードを引いたことがあるときのみ K を確定できる
(イ) K = 2, 3, · · · , N − 1 のとき，K のカードと K + 1 のカードの両方を引いたことがあ
るときのみ K を確定できる
(ウ) K = N のとき，N のカードを引いたことがあるときのみ K を確定できる
したがって，P3 (1)，P3 (2)，P3 (3) はそれぞれ，1，2，3 回以内に少なくとも 1 回 2 のカードを引くときの確
率であるから，余事象を考えて
P3 (1) = 1 −
( )1
2
1
=
3
3
:
P3 (2) = 1 −
( )2
2
5
=
3
9
:
P3 (3) = 1 −
( )3
2
19
=
3
27
::
となる．
(2) K = 2 のとき，P3 (1)，P3 (2)，P3 (3) はそれぞれ，1，2，3 回以内に少なくとも 1 回ずつ，2 のカード
と 3 のカードを引くときの確率であるから，余事象を考え
1 − {(2 のカードが 1 回も出ない確率) + (3 のカードが 1 回も出ない確率)
−(2 のカードも 3 のカードも 1 回も出ない確率)}
を用いて
{( )
( )1 ( )1 }
1
2
1
2
P3 (1) = 1 −
+
−
= 0:
3
3
3
{( )
( )2 ( )2 }
2
2
2
1
2
P3 (2) = 1 −
+
−
=
3
3
3
9:
{( )
}
( )3 ( )3
3
2
2
1
4
P3 (3) = 1 −
+
−
=
3
3
3
9:
となる．
(3) K = 1 のとき，少なくとも 1 回 2 のカードを引く確率なので
(
PN (n) = 1 −
N −1
N
)n
:::::::::::::
となる．
K = 2, 3, · · · , N − 1 のとき，少なくとも 1 回ずつ K ，K + 1 のカードを引く確率なので
{(
)n (
)n (
)n }
N −1
N −1
N −2
PN (n) = 1 −
+
−
N
N
N
(
)n (
)n
N −1
N −2
=1−2
+
N
N
::::::::::::::::::::::::::
となる．
K = N のとき，少なくとも 1 回 N のカードを引く確率なので
(
PN (n) = 1 −
N −1
N
)n
:::::::::::::
となる．
(4) (
lim
N →∞
(
lim
N →∞
N −1
N
N −2
N
{(
)cN
= lim
N →∞
{(
)cN
= lim
N →∞
1
1−
N
2
1−
N
)−N }−c
= e−c
)− N2 }−2c
= e−2c
となることを用いて K = 1, N のとき
)cN }
(
1
= 1::::::
− e−c
1− 1−
N
{
lim PN (cN ) = lim
N →∞
N →∞
K = 2, 3, · · · , N − 1 のとき
{
lim PN (cN ) = lim
N →∞
となる．
N →∞
(
1
1−2 1−
N
)cN
(
2
+ 1−
N
)cN }
= 1:::::::::::::
− 2e−c + e−2c
[V]
(1)
x2
y2
+
=1
4a2
2a2
::::::::::::::
(2)
対称性を考慮すると
√
∫
√
∫
2a
2
V = ２π
y dx = 2π
0
]√2a
[
3
x
= 2π 2a2 x −
6 0
√
10 2 3
=
πa
3
:::::::::
0
2a
(
)
x2
2
2a −
dx
2
となる．
(3)
(1) の式を x で微分して
1
1
dy
· 2x + 2 · 2y
= 0 2
4a
2a
dx
よって，
dy
x
=−
dx
2y
対称性を考慮すると，
∫
√
2a
√
y2
S = 4π
0
∫
√
2a
√
(
)2
dy
+ y
dx + 2πa2
dx
2a2 −
= 4π
∫
0
√
2a
= 2π
x2
dx + 2πa2
4
√
8a2 − x2 dx + 2πa2
0
{
}
√
1 √
1 π ( √ )2
· 2a · 6a + · · 2 2a
+ 2πa2
2
2 6
(
)
√
2
= 2πa2
3+1+ π
3
= 2π
::::::::::::::::::::
となる．
（は上図の影付き部分の面積）

Download Report