関数論演習 第 5 回 2014 年 4 月 25 日 担当:中島 5 複素数列と複素級数 例題 5.1. z = x + iy に対して ez = lim ( 1+ n→∞ z )n と定義する. n ez = ex (cos y + i sin y) であることを示せ. 例題 5.2. Rez1 > −1 とする. zn+1 = 1 + 1 , n≥1 zn + 1 により複素数列 {zn : n ≥ 1} を定める. {zn : n ≥ 1} が Cauchy 列であることを示し, その極限値を求 めよ. 問 5.1. |β/α| < 1 を満たす α, β ∈ C と z1 ∈ C を与える. αzn+1 + βzn = 1, n ≥ 1 により複素数列 {zn : n ≥ 1} を定める. {zn } が Cauchy 列であることを示し, その極限値を求めよ. 問 5.2. 数列 {zn : n ≥ 0} を 1 z0 = 0, zn+1 = zn2 + , n ≥ 0 4 で定義する. zn が収束することを示せ. レポート A 5.1. zn = n(cos θ + i sin θ) (θ ∈ [0, 2π)) であるとする. lim ezn n→∞ が存在する (無限遠点は含まない) ような θ の範囲を求めよ. レポート A 5.2. z = r(cos θ + i sin θ), 0 ≤ r < 1, θ ∈ R とする. (i) ∑∞ n=0 z n は絶対収束することを示し, ∑∞ n=0 zn = 1 1−z を導け. (ii) 以下の等式を示せ. ∑ rn cos(nθ) = 1 − r cos θ 1 − 2r cos θ + r2 rn sin(nθ) = r sin θ 1 − 2r cos θ + r2 n≥0 ∑ n≥0 レポート A 5.3. 実数列 {an : n ≥ 0} は lim sup |an |1/n = α であるとする. r < n→∞ ∑ 1 α であるとき |an |rn < ∞ n≥0 であることを示せ. (Hint: 過去のレポートの問題を参照せよ) 裏へ続く レポート B 5.1. ∑∞ が収束するとき, sn = n=1 zn ∑n k=1 zk , s= 1∑ zk = s. n→∞ n n (i) lim k=1 (ii) n ∑ kzk = nsn − n→∞ sj , limn→∞ 1 n ∑n k=1 kzk = 0. j=1 k=1 (iii) lim n−1 ∑ n ∑ z1 + 2z2 + · · · + kzk k=1 k(k + 1) = s. レポート提出期限: 2014 年 5 月 2 日 (金) 授業開始時まで 提出: 授業開始時に提出 ∑∞ n=1 と定義する. 以下を示せ.
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