以下は、問題のヒントであり問題の解答ではないことを注意しておく。証明することを順番に証明していけばよい。自分で証明を納得するまで書いてみてください。問題２２についてのヒント (⇒) 制限写像 fA は iA : A → X の埋め込み写像を使って、f ◦ iA と書ける。iA は連続か？もしそうなら合成写像の連続性を使え． (⇐) 位相空間 (X, O) の部分集合 A には自然に相対位相 OA が入っています。つまり、U ∈ OA であることは、ある開集合 O ∈ O が存在して、U = O ∩ A とかけます。fA , fB が相対位相からの連続な写像であるとき、任意の U ′ ∈ O′ において、f −1 (U ′ ) が O の元であることを示して下さい。 f −1 (U ′ ) の補集合が閉集合であることを示せば十分．さらに、 f −1 (U ′ ) ∩ (A ∪ B) = (f −1 (U ′ ) ∩ A) ∪ (f −1 (U ′ ) ∩ B) を使え． f −1 (U ′ ) ∩ A = fA−1 (U ′ ) であることを示せ．問題３０についてのヒント位相が大きいことと小さいことがどういうことか？復習すること。連続写像 f : (X, O) → (X ′ , O) であることは任意の開集合 U ∈ O′ に対して、f −1 (U ) ∈ O となること。O, O′ の位相を大きくするか、小さくするとき、この連続の条件がいつ成り立つか考えよ。問題４５についてのヒント点列の収束の定義を復習せよ．（定義：(X, O) の点列 xn が x に収束するとは、x の任意の（開）近傍 U ∈ O に対して、ある整数 N が存在して、n ≥ N となる全ての n に対して、xn ∈ U を満たす．） (xn , yn ) が X × Y において (x, y) で収束するとき、任意の X × Y の（開）近傍（例えば、V1 , V2 を X,Y の開集合として、V1 × V2 ⊂ X × Y においても）上の条件が成り立つ．このことから、xn , yn の収束の証明をせよ．また、xn , yn が収束するとき、任意の (x, y) の近傍 U において V1 × V2 ⊂ U となる開近傍が存在する（積位相）．このとき、個々の収束性の仮定から、(xn , yn ) が収束することを示せ．