集合に群構造が入ることと選択公理 alg-d http://alg-d.com/math/ac/ 2014 年 8 月 9 日定理. 選択公理 ⇐⇒ 任意の非空集合 X に群構造を入れることができる．証明. (=⇒) X が有限集合の時は自明 (Z/nZ を考えればよい) だから，X は無限集合とする．Pfin (X) := {x ⊂ X | x は有限集合 } とする．選択公理より，|X| = |Pfin (X)|，即ち全単射 X −→ Pfin (X) が存在する． ※ 実は「任意の無限集合 X に対し |X| = |Pfin (X)|」は選択公理と同値である．証明は基数の性質の定理 9 を参照．よって Pfin (X) に群構造を入れられることを示せばよい．自然な同一視 P(X) = 2X で考えると Pfin (X) = { f ∈ 2X | 有限個の x ∈ X を除いて f (x) = 0 } である．2 = {0, 1} = Z/2Z は体だから，それの直積である 2X は自然に環となる．このとき明らかに Pfin (X) ⊂ 2X は (加法についての) 部分群である．故に Pfin (X) に群構造を入れることができた． ※ 同じことだが，直接演算を定義しても証明できる．Pfin (X) 上の二項演算を対称差 △ で定義する．(これが 2X での加法に対応する．) 即ち x△y := (x ∪ y) \ (x ∩ y) = (x ∪ y) ∩ (xc ∪ y c ) である．すると (Pfin (X), △) は群になる． . . . ) x△∅ = ∅△x = x より ∅ ∈ Pfin (X) が単位元．x△x = ∅ より x−1 = x．故 1 に結合律を示せばよい．x, y, z ∈ Pfin (X) に対し (x△y)△z = [(x ∪ y) ∩ (xc ∪ y c )]△z = ([(x ∪ y) ∩ (xc ∪ y c )] ∪ z) ∩ ([(x ∪ y) ∩ (xc ∪ y c )]c ∪ z c ) = ([(x ∪ y) ∪ z] ∩ [(xc ∪ y c ) ∪ z]) ∩ ([(xc ∩ y c ) ∪ (x ∩ y)] ∪ z c ) = ([x ∪ y ∪ z] ∩ [xc ∪ y c ∪ z]) ∩ ((xc ∩ y c ) ∪ (x ∩ y) ∪ z c ) = (x ∪ y ∪ z) ∩ (xc ∪ y c ∪ z) ∩ (xc ∪ y ∪ z c ) ∩ (y c ∪ x ∪ z c ) = (x ∪ y ∪ z) ∩ (x ∪ y c ∪ z c ) ∩ (xc ∪ y c ∪ z) ∩ (xc ∪ y ∪ z c ) = (x ∪ [(y ∪ z) ∩ (y c ∪ z c )]) ∩ (xc ∪ (y c ∩ z c ) ∪ (y ∩ z)) = (x ∪ [(y ∪ z) ∩ (y c ∪ z c )]) ∩ (xc ∪ [(y c ∩ z c ) ∪ (y ∩ z)]) = (x ∪ [(y ∪ z) ∩ (y c ∪ z c )]) ∩ (xc ∪ [(y ∪ z) ∩ (y c ∪ z c )]c ) = (x ∪ (y△z)) ∩ (xc ∪ (y△z)c ) = x△(y△z). 故に結合律が成り立つ． (⇐=) 整列可能定理を示す．X ̸= ∅ を任意の集合とする．単射 λ −→ X が存在しないような順序数 λ が存在するので，そのような λ を 1 つ取っておく． ※ λ := {β : 順序数 | 単射 β −→ X が存在する } と置けばよい．順序数・濃度の簡単なまとめを参照．仮定により X ∪ λ を群にすることができる．(その積を · とする．) このとき任意の x ∈ X に対して，あるα ∈ λが存在して x · α ∈ λ が成立する． . . . ) x ∈ X とする．写像 f : λ −→ X ∪ λ を f (α) := x · α で定義すれば，これは積 · の性質により単射となる．よって，λ の取り方から Im f ̸⊂ X でなければならない．故にある α ∈ λ が存在して x · α = f (α) ∈ / X ，即ち x · α ∈ λ である．さて，直積 λ × λ に辞書式順序を入れる．するとこれは整列順序になる．そこで g : X −→ λ × λ を g(x) := min{⟨α, β⟩ ∈ λ × λ | x · α = β} と定義すると，g は単射であり，よって X は整列可能である．この定理を見てすぐに思いつくのは，「群」の部分を環や体などの別の構造にしたらどうなるか，という問題である．まず次の 2 点に注意する． 2 (1) Pfin (X) ⊂ 2X は積についても閉じている．故に Pfin (X) は (単位元を持たない) 可換環になる． ※ P(X) の ∩ が 2X の積に対応している．勿論，先ほどと同様に直接 (Pfin (X), △, ∩) が環になることを示すこともできる． (2) ⇐= の証明には積 · から得られる写像が単射であることしか使っていない．特に，積·が任意の x, y, z に対して x · y = x · z =⇒ y = z 任意の x, y, z に対して x · z = y · z =⇒ x = y という性質を満たしていれば先の証明は実行できる．(この条件を満たすことを消約 (cancellative) と言うことにする．) (1)(2) より次の系が分かる．系. 次の命題は (ZF 上) 同値． 1. 選択公理 2. 任意の非空集合に消約亜群 (亜群=magma=二項演算を持つ集合) の構造を入れることができる． 3. 任意の非空集合に消約半群の構造を入れることができる． 4. 任意の非空集合に消約アーベル半群の構造を入れることができる． 5. 任意の非空集合に quasigroup (∀a, b∃x, y(a · x = b, y · a = b) を満たす消約亜群) の構造を入れることができる． 6. 任意の非空集合に loop (単位元を持つ quasigroup) の構造を入れることができる． 7. 任意の非空集合にアーベル群の構造を入れることができる． 8. 任意の非空集合に (単位元の存在を仮定しない) 可換環の構造を入れることができる．更に，次のことも分かる．定理. 次の命題は (ZF 上) 同値． 1. 選択公理 2. 任意の集合に単位的可換環の構造を入れることができる． 3. 任意の無限集合に整域の構造を入れることができる． 4. 任意の無限集合に体の構造を入れることができる． 3 証明. 4=⇒3 と 3=⇒2 と 2=⇒1 は明らかだから，1=⇒4 を示せばよい．その為には無限集合 X に対して |X| = |Q(X)| を示せばよい．まず明らかに |X| ≤ |Q(X)| である．α ∈ Q に対して Aα := {αx1 · · · xn | n ∈ N, xi ∈ X} ⊂ Q(X) と置けば (∪ ) ∪ Aα ≤ ℵ0 · |A1 | = |A1 | Aα = |Q(X)| ≤ Pfin α∈Q α∈Q だから |A1 | ≤ |X| を示せばよい．有限集合 Y = {x1 , . . . , xn } ⊂ X に対して BY := {xe11 · · · xenn | ei > 0} と書く．この ∪ とき A1 = |Y | BY である．今，|BY | = ℵ0 = ℵ0 だから Y ∈Pfin (X) |A1 | = ∑ Y ∈Pfin (X) |BY | = ∑ ℵ0 = |Pfin (X)| · ℵ0 = |X| · ℵ0 = |X| Y ∈Pfin (X) である．参考文献 [1] Does every non-empty set admit a group structure (in ZF)? - MathOverflow [2] H. Rubin and J. Rubin, Equivalents of the axiom of choice, II, North Holland, 1985. 4