11. 1変数関数の積分 (2)

2014 年 B 科微分積分学演習
11. 1 変数関数の積分 (2)
微分積分学の基本定理と不定積分
'
∫
$
x
定理. 関数 f (x) が閉区間 [a, b] で連続であるとき,
f (t) dt は x の関数であり, 開区間
a
(a, b) で微分可能で
d
dx
∫
x
f (t) dt = f (x)
a
定義 (原始関数). 関数 f (x) に対して F ′ (x) = f (x) となる関数 F (x) を f (x) の原始関数
∫ x
という.
f (t) dt は f (x) の原始関数の 1 つである.
a
定理. F (x) を f (x) の 1 つの原始関数とすると, f (x) のすべての原始関数は
F (x) + C
(C : 任意定数)
で表される.
定義 (不定積分). f (x) の原始関数 F (x) は定数 C の分だけ不定であるので, F (x) + C を
f (x) の不定積分といい,
∫
f (x) dx = F (x) + C
と書く. この C を積分定数という.
微分積分学の基本定理.
[a, b] で連続な関数 f (x) の原始関数の 1 つを F (x) とするとき,
∫
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
注意右辺の F (b) − F (a) を [F (x)]ba と書くことが多い.
基本的な関数の不定積分. 微分法の公式から以下の公式を得る.
∫
∫
xa+1
1
a
(1) x dx =
+ C (a ̸= −1)
(8)
dx = tan x + C
a+1
cos2 x
∫
∫
1
(2)
dx = log |x| + C
(9) tan x dx = − log | cos x| + C
x
∫ ′
∫
x−1
f (x)
1
1
(3)
dx = log |f (x)| + C
(10)
dx = log
+C
2
f (x)
x −1
2
x+1
∫
∫
1
(4) ex dx = ex + C
(11)
dx = arctan x + C
1 + x2
∫
∫
1
ax
√
+C
(12)
(5) ax dx =
dx = arcsin x + C
2
log a
1
−
x
∫
∫
√
1
√
(6) sin x dx = − cos x + C
(13)
dx = log |x + 1 + x2 | + C
1 + x2
∫
(7) cos x dx = sin x + C
∫
注意
&
∫
1 dx や
1
dx は
f (x)
∫
∫
dx,
dx
とも書き表す.
f (x)
– 20 –
%
問 1. 次の関数の原始関数を求めよ.
1
2x2
(1)
(2)
(2 − 3x)2
1 + x3
4
2x − 5
(4) 2
(5)
x +2
3x2 + 4
x2 + x
x2
(7) 2
(8)
x +1
(x3 + 5)6
2
x4 + 1
3x − 2x + 1
(10)
(11)
(2x + 1)3
x(x − 1)3
4x
(13) 4
x +4
x+1
+ 2x + 3
2
(6) 2
x −9
1
(9)
5 + 4x − x2
x
(12)
2
(x + 1)(x2 + 4)
(3)
問 2. 次の関数の原始関数を求めよ.
√
1
3
(1) √
(2)
x
9−x
( x + 1)2
1
1
(4) √
(5) √
2
2
4−x
x −3
6x + 5
1
√
(7) √
(8)
x2 + 1
(x + 1) 4x2 + x + 1
問 3. 次の関数の原始関数を求めよ.
1 + sin x
1
(2)
(1)
cos x
sin x(1 + cos x)
cos x
1
(4)
(5)
4
4
sin x
sin x cos2 x
問 4. 次の関数の原始関数を求めよ.
(1) arctan x
(2) arcsin x
x2
1
(3)
x
√
x+1
(x > 1)
x−1
1
(6) √
2
2x − 3x + 4
2 − sin x
2 + cos x
a 2 + b2
(6)
a + b tan x
(3)
(4) (arcsin x)2
(3) x arctan x
問 5. 次の関数の原始関数を求めよ.
x
x
(1)
(2)
x
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
(3)
1
(x2 + 1)2
補充問題
問 6. n ∈ N とする. このとき, 次の漸化式が成り立つことを示せ.
∫
(1) In (x) = (log x)n dx のとき, I0 (x) = x, In (x) = x(log x)n − nIn−1 (x)
∫
(2) In (x) = xn ex dx のとき, I0 (x) = ex , In (x) = xn ex − nIn−1 (x)
問 7. 次の問に答えよ.
∫
sin x
(1) 不定積分
dx を求めよ.
1 + cos2 x
∫ π/2
∫ π
(π − y) sin y
x sin x
dx =
dy となることを示せ.
(2)
2
1 + cos2 y
0
π/2 1 + cos x
∫ π
x sin x
(3) 定積分
dx を求めよ.
2
0 1 + cos x
– 21 –
(ab ̸= 0)

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