2014 年 B 科 微分積分学演習 11. 1 変数関数の積分 (2) 微分積分学の基本定理と不定積分 ' ∫ $ x 定理. 関数 f (x) が閉区間 [a, b] で連続であるとき, f (t) dt は x の関数であり, 開区間 a (a, b) で微分可能で d dx ∫ x f (t) dt = f (x) a 定義 (原始関数). 関数 f (x) に対して F ′ (x) = f (x) となる関数 F (x) を f (x) の原始関数 ∫ x という. f (t) dt は f (x) の原始関数の 1 つである. a 定理. F (x) を f (x) の 1 つの原始関数とすると, f (x) のすべての原始関数は F (x) + C (C : 任意定数) で表される. 定義 (不定積分). f (x) の原始関数 F (x) は定数 C の分だけ不定であるので, F (x) + C を f (x) の不定積分といい, ∫ f (x) dx = F (x) + C と書く. この C を積分定数という. 微分積分学の基本定理. [a, b] で連続な関数 f (x) の原始関数の 1 つを F (x) とするとき, ∫ b f (x) dx = F (b) − F (a). a 注意 右辺の F (b) − F (a) を [F (x)]ba と書くことが多い. 基本的な関数の不定積分. 微分法の公式から以下の公式を得る. ∫ ∫ xa+1 1 a (1) x dx = + C (a ̸= −1) (8) dx = tan x + C a+1 cos2 x ∫ ∫ 1 (2) dx = log |x| + C (9) tan x dx = − log | cos x| + C x ∫ ′ ∫ x−1 f (x) 1 1 (3) dx = log |f (x)| + C (10) dx = log +C 2 f (x) x −1 2 x+1 ∫ ∫ 1 (4) ex dx = ex + C (11) dx = arctan x + C 1 + x2 ∫ ∫ 1 ax √ +C (12) (5) ax dx = dx = arcsin x + C 2 log a 1 − x ∫ ∫ √ 1 √ (6) sin x dx = − cos x + C (13) dx = log |x + 1 + x2 | + C 1 + x2 ∫ (7) cos x dx = sin x + C ∫ 注意 & ∫ 1 dx や 1 dx は f (x) ∫ ∫ dx, dx とも書き表す. f (x) – 20 – % 問 1. 次の関数の原始関数を求めよ. 1 2x2 (1) (2) (2 − 3x)2 1 + x3 4 2x − 5 (4) 2 (5) x +2 3x2 + 4 x2 + x x2 (7) 2 (8) x +1 (x3 + 5)6 2 x4 + 1 3x − 2x + 1 (10) (11) (2x + 1)3 x(x − 1)3 4x (13) 4 x +4 x+1 + 2x + 3 2 (6) 2 x −9 1 (9) 5 + 4x − x2 x (12) 2 (x + 1)(x2 + 4) (3) 問 2. 次の関数の原始関数を求めよ. √ 1 3 (1) √ (2) x 9−x ( x + 1)2 1 1 (4) √ (5) √ 2 2 4−x x −3 6x + 5 1 √ (7) √ (8) x2 + 1 (x + 1) 4x2 + x + 1 問 3. 次の関数の原始関数を求めよ. 1 + sin x 1 (2) (1) cos x sin x(1 + cos x) cos x 1 (4) (5) 4 4 sin x sin x cos2 x 問 4. 次の関数の原始関数を求めよ. (1) arctan x (2) arcsin x x2 1 (3) x √ x+1 (x > 1) x−1 1 (6) √ 2 2x − 3x + 4 2 − sin x 2 + cos x a 2 + b2 (6) a + b tan x (3) (4) (arcsin x)2 (3) x arctan x 問 5. 次の関数の原始関数を求めよ. x x (1) (2) x (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (3) 1 (x2 + 1)2 補充問題 問 6. n ∈ N とする. このとき, 次の漸化式が成り立つことを示せ. ∫ (1) In (x) = (log x)n dx のとき, I0 (x) = x, In (x) = x(log x)n − nIn−1 (x) ∫ (2) In (x) = xn ex dx のとき, I0 (x) = ex , In (x) = xn ex − nIn−1 (x) 問 7. 次の問に答えよ. ∫ sin x (1) 不定積分 dx を求めよ. 1 + cos2 x ∫ π/2 ∫ π (π − y) sin y x sin x dx = dy となることを示せ. (2) 2 1 + cos2 y 0 π/2 1 + cos x ∫ π x sin x (3) 定積分 dx を求めよ. 2 0 1 + cos x – 21 – (ab ̸= 0)
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