第 5 回 入試で使える数学小技 ○和の期待値(数学 A) 数学嫌い泣かせな問題の 1 つに, 期待値の計算がある.期待値の定義自体は, 定義 ある試行 X において,起こりうる事象が X 1 , X 2 ,…, X n のうちのただひとつで あり, X k (k = 1,2,L, n ) にてとる値を xk , X k の起きる確率を pk としたとき, X の期待値を E ( X ) とすると, E ( X ) = x1 p1 + x 2 p 2 + L + x n p n ( p1 + p2 + L + pn = 1) と, 堅苦しい書き方をしているが,つまりは (得られる数値)×(その確率) の総和 ということである. さて, この期待値とは一体何を意味している値なのであろうか? 具体的な例を用いて考えてみよう. 例1 さいころを 1 回投げたときに出る目の値の期待値 E を求めよ. さいころの各目の出る確率は 1 であるから, 定義から期待値を計算すると 6 1 1 1 1 1 1 E = 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ 6 6 6 6 6 6 1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 … ① 6 7 = 2 = 例2 2 枚の硬貨を投げたとき, 硬貨の表面が出る枚数の期待値 E を求めよ. 右の表のように,表の枚数を記してみると 4 通りの結果が考えられ, ・表が 0 枚 … 1 通り ・表が 1 枚 … 2 通り ・表が 2 枚 … 1 通り であるから 表 裏 表 2 1 裏 1 0 E = 0⋅ 1 2 1 + 2⋅ + 2⋅ 4 4 4 0 ⋅1 + 1⋅ 2 + 2 ⋅1 … ② 4 =1 = ①, ②からも分かるように, 期待値は平均値となっている. この性質を利用して, 和の期待値の問題を考えてみよう. 例3 さいころを 2 回投げたとき, 出た目の値の和の期待値 E を求めよ. 例 1)より, 1 回投げて出る目の期待値(平均値)は 7 である. 2 よって, 2 回投げたときの目の和の期待値(平均値)はその 2 倍となるので E = 2⋅ 例4 7 =7 2 白玉が 5 個, 赤玉が 4 個入った袋がある. この袋の中から無作為に 3 個の 玉を取り出したときに, 赤玉がの取り出される個数の期待値 E を求めよ. 9 個の玉のうち, 4 個が赤玉であるから, 袋から 1 個の玉を取り出したとき,赤玉の取り出す個数の期待値(平均値)は 4 個 9 である. よって, 3 個の玉を取り出したときの, 赤玉の取り出す個数の期待値(平均値)は その 3 倍となるので E = 3⋅ 4 4 = 9 3 と考えることができる. 本質的なことを述べると, 例 4)では,まず 9 個の玉を同じ玉に平均化して, どの玉を とっても, 赤玉 4 個 となるようにしてしまっているのであり,これが期待値の本質的 9 な意義である. つまり,期待値とは, 未来のことを平均化して予測した数値なのである. この解法は使える場合とそうでない場合がある.(でなければ定義の計算が不要…) 次の問題 A, B のうち, 1 回ごとの期待値を利用して解くことができる問題はどっち であるか考えてほしい. 問題 A コインを 2 回投げる. 表が出た回数だけ 100 円, 裏が出た回数だけ 50 円がもらえるとき, もらえる金額の 期待値を求めよ. 問題 B コインを 2 回投げる. 表が 2 回出たとき 200 円, 表と裏が 1 回ずつ出たとき 100 円, 裏が 2 回出たとき 50 円がもらえるとき, もらえる金額の期待値を求めよ. 似た問題であるが, 1 回ごとの期待値を利用して解くことができる問題は問題 A のみである. 問題 A は 1 回ごとの結果で,もらえる金額が決まっている, つまり,コインを 1 回投げ るごとに得られるお金(結果)が確定する試行である. 問題 B は 2 回の結果が出て初めて金額が確定する. つまり,コインを 2 回投げること て初めて得られるお金(結果)が確定する試行である. 問題 A の解答 コインを 1 回投げて得られる金額の期待値(平均値)は 100 + 50 = 75 円 2 よって, コインを 2 回投げて得られる金額の期待値は 2 ⋅ 75 = 150 問題 B の解答 例 2 同様に考えると,各確率は右のようになり, コインを 2 回投げて得られる金額の期待値は 200 ⋅ 1 2 1 225 + 100 ⋅ + 50 ⋅ = 4 4 4 2 結果 表2回 各1回 裏2回 確率 p 1 4 2 4 1 4 金額 x 200 円 100 円 50 円 入試例題 赤玉 3 個,白玉 4 個,青玉 5 個が入っている袋から,同時に 4 個取り出す. (中略) また, 同時に 4 個の玉を取り出すとき, そこに含まれる青玉の個数の期待値は 6 である. (2013 福岡大学 抜粋) [解答] 袋の中には全部で 12 個の玉が入っていて,そのうち 5 個が青玉であるから, 袋から玉を 1 個取り出したときの青玉を取り出す個数の期待値は 5 12 よって, 袋から玉を 4 個取り出したときの青玉を取り出す個数の期待値は 4⋅ 5 5 = … 12 3 6 比較のため, 一般的な解法を次ページに載せる. 正攻法 袋の中には全部で 12 個の玉が入っていて,そのうち 5 個が青玉であるから, 袋から玉を 4 個取り出したとき (ⅰ) 青玉が含まれない確率は C4 35 7 = = 495 99 12 C 4 7 (ⅱ) 青玉が 1 個含まれている確率は 7 C 3 ⋅5 C1 175 35 = = 495 99 C 12 4 (ⅲ) 青玉が 2 個含まれている確率は 7 C 2 ⋅5 C 2 210 42 = = 495 99 12 C 4 (ⅳ) 青玉が 3 個含まれている確率は 7 C1 ⋅5 C 3 70 14 = = 495 99 C 12 4 (ⅴ) 青玉が 4 個含まれている確率は C4 5 1 = = 495 99 12 C 4 5 よって, 袋から玉を 4 個取り出したときの青玉を取り出す個数の期待値は 0 ⋅ 7 + 1 ⋅ 35 + 2 ⋅ 42 + 3 ⋅ 14 + 4 ⋅ 1 99 = 35 + 84 + 42 + 4 99 165 99 5 = … 3 = 6
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