数式処理ソフト入門4

数式処理ソフト入門 4
情報科学演習用課題
1
2.2
和
1.1
課題
(1) lim
例題
x→∞
√
x2 + 1 − x
• k.sum(k,1,n).factor()
(2) lim e−1/x
• (1/k^4).sum(k,1,oo)
(3) lim e−1/x
• assume( abs(r) < 1 )
(4) lim
x→0+
x→0−
10n
n→∞ n!
√
(5) lim n 3n + 4n
(a * r^k).sum(k,0,oo)
n→∞
1.2
課題
(6) lim
(1)
1
2 + 2n
n
n=1
(7) lim
(2)
∞ n+1
n
n=1 3
n→∞
∞
1 2 + 2 2 + · · · + n2
n→∞
n3
3
∞
1
(3)
2
n=2 n − 1
(4)
(5)
∞
n=1
nrn−1
f (x, y) : R2 → R のような実数値の多変数関数をス
f1 (x, y)
カラー場という。また f (x, y) =
のような
f2 (x, y)
ベクトル値の関数をベクトル場という。
(|r| < 1)
∞ (−1)n+1 xn
n
n=1
スカラー場 f (x, y) に対して、y を定数とみなした
x での微分を
での微分を
∂f
∂y
∂f
∂x (x, y)
と書き、x を定数とみなした y
と書き、それぞれ x, y による偏微分と
いう。
スカラー場 f (x, y) の「微小変化量」は
df (x, y) =
極限
2.1
微分
実数値 1 変数関数の微分については省略する。
∞ 1
(6)
n=0 n!
n! は factorial(n)
2
√ √
√
n( n + 1 − n)
例題
• (sin(x)/x).limit(x=0)
∂f
∂f
(x, y) dx +
(x, y) dy
∂x
∂y
dx
∂f
= ∂f
∂x (x, y)
∂y (x, y)
dy
と
書け、これを全微分という。ここに現われた
∂f
∂f
は、1 変数の微分係数に相当す
∂x (x, y)
∂y (x, y)
• ((1 + 1/x)^x).limit(x=oo)
るものであるが、f の勾配（gradient）ベクトル場と
• (x*log(x)).limit(x=0,dir=’+’)
いって grad f とか ∇f （ナブラ f ）と書く。
1
実数値の 1 変数関数の場合
るのだから、ここで出てきた行列の行列式の絶対値が
|J(t, s)| である。この行列をヤコビ（Jacabi）行列、行
1
f (x + h) = f (x) + f (x)h + f (x)h2 + · · ·
2
列式をヤコビアン（Jacobian）という。
この話はもっと一般の n 変数でも全く同様で、勾配・
という展開は微積分で最も重要な関数の観点である。
これは微分形で（dx2 を単なる記号として）
ヘッセ行列・ヤコビ行列を理解することが微積分学の
目標の一つである。そのためには線形代数学と微分積
1
df (x) = f (x) dx + f (x) dx2 + · · ·
2
分学とを一体のものとして眺めている必要がある。
と書いてもよい。2 変数の場合には
3.1
f (x + h, y + k) = f (x, y)
h
∂f
∂f
+ ∂x (x, y) ∂y (x, y)
k
2
2
∂ f
∂ f (x, y)
h
1
∂x2
∂x∂y (x, y)
+ ···
+
h k
2
∂ f
∂2f
2
k
∂x∂y (x, y)
∂y 2 (x, y)
• ((1-t)^5).derivative()
• ((1-t)^5).derivative(t,2)
• (x*y + sin(x^2) + e^(-x)).derivative(x)
• f(x,y) = x^2*y + y^2 + y
となる。最後の項は二次形式といって、線形代数学の
f.derivative()（勾配）
目標である。この係数の行列を H(x, y) と書いてヘッ
f.derivative(2)（ヘッセ行列）
セ（Hesse）行列という。ヘッセ行列の行列式（ヘシア
• var("r,theta")
f(r,theta) = [ r*cos(theta), r*sin(thet
ンという）によって、この関数の振る舞いが決まり、
極大点・極小点などが判定できる。
1 変数の場合には
a) ]（極座標変換）
f.derivative()（ヤコビ行列）
f (x) dx
f.derivative().det().full_simplify()（ヤ
コビアン）
で変数変換 x = T (t) とすると（置換積分）
f (T (t)) |T (t)| dt
3.2
となる。同じように、2 変数の場合には
f (x, y) dx dy
において
x
y
=
例題
課題
(1) 次の関数のすべての偏導関数を求めよ。
(a) f (x, y, z) = x4 sin(x3 y 2 z)
(b) f (x, y) = (x + y)xy
T1 (t, s)
(c) f (x, y) = x2 arctan xy − y 2 arctan xy
T2 (t, s)
(d) f (x, y) =
と変換すると
f (T1 (t, s), T2 (t, s)) |J(t, s)| dt ds
xy(x2 − y 2 )
x2 + y 2
(2) f (x, y) = x3 + 2y 3 + 5xy のヘッセ行列を求めよ。
(3) f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ) のヤコビ行列とその逆行列
を求めよ。
⎛ ⎞ ⎛
⎞
r
r sin θ cos ψ
⎜ ⎟ ⎜
⎟
(4) 空間極座標変換 f ⎝ θ ⎠ = ⎝ r sin θ sin ψ ⎠ のヤコ
とかける。この J(t, s) は一見難しそうだが、
∂T1 (t,s)
∂T1 (t,s)
dx
dt
∂t
∂s
= ∂T2 (t,s) ∂T2 (t,s)
dy
ds
∂t
∂s
で、これは一次変換になっている。線形代数学で学ぶ
ψ
r cos θ
ビ行列とヤコビアンを求めよ。
ように、一次変換 Y = AX では面積は det A 倍にな
2
⎛ ⎞
⎛
⎞
r
r cos θ
⎜ ⎟
⎜
⎟
(5) 円柱座標変換 f ⎝θ ⎠ = ⎝ r sin θ ⎠ のヤコビ行列
z
z
とヤコビアンを求めよ。
2
(12)
1
dx
D
yexy dx dy, D : 1 ≤ x ≤ 3, x1 ≤ y ≤ 2
(14)
4
D
積分
4.1
2−x
dy(8x2 + 4y)
(x2 + y 2 ) dx dy, D : x2 ≤ y ≤ x
(13)
x2
(15)
例題
V
• integral( sin(x), x, a, b )
5
• integral( x/(x^3 - 1), x )
xyz dx dy dz, V : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1
テイラー展開
テイラー展開は大学に入って学ぶ数学の中で最初に
• integral( integral(x*y^2, x, 0, y), y,
y
2
-2, 2) = −2 dy 0 xy 2 dx
出てくる、絶対に知らなければならない数学的概念と
いってよい。これが身についていなければ以降習うこ
とにはほとんど何の価値もないし、また数学を何にも
• f(x) = e^(-x^2)
numerical_integral( f, -4, 4 )
応用できない。しかもテイラー展開は実質的に何一つ
難しいことはなく、単に微分が分かっているかどうか
という問題に過ぎない。
4.2
課題
いうまでもなく、微分というのは線形近似
√
3x − 4 3 x
√
dx
(1)
x x
3
2
2
(2)
x x−
dx
x
1
dx
(3)
(x − 1)(x − 2)
(4)
a2 − x2 dx
2
f (x + h) = f (x) + f (x)h + · · ·
に現われる f (x) のことである。ここで · · · は無視可
能な項、つまり f (x + h) を (x, f (x)) を通る直線で最大
限近似（要するに接線を引く）するときの傾きが f (x)
といっているに過ぎない。同じように、導関数 f (x)
を考えれば
f (x + h) = f (x) + f (x)h + · · ·
4
√
dx
3x2 − 5
(6)
2x2 − 3 dx
(5)
であるから、これを h で積分して
1
f (x + h) = f (x) + f (x)h + f (x)h2 + · · ·
2
(7)
が得られる。右辺に f (x) が現われるのは積分定数で
cos(log x) dx
(8)
(9)
ある（h = 0 のときの左辺が f (x) だから）。これを繰
り返して、形式的に
1
√
dx
(x + 1) 4x2 + x + 1
f (x + h) =
2 + sin x
dx
sin x(1 + cos x)
∞
1 (n)
f (x)hn
n!
n=0
が得られる。こうして f を点 x の周りで多項式で近
sin3 x
dx
(10)
1 + cos2 x
1
(11)
ex log x +
dx
x
似するときの最良の近似が得られる。但し右辺は無限
和だから、収束するかどうかは慎重な議論が必要で、
普通は h の範囲に制限がつき、|h| < R の範囲でのみ
収束する。この R を収束半径（「半径」というのは、
3
√
(2) f (x, y) = x log(1 + y) を点 (1, 2) の周りで 3 次
までテイラー展開せよ。
x が複素数でも成り立つからである）という。R > 0
のとき f は解析的であるという。無限回微分できても
R = 0、つまりテイラー展開できない関数もある（例え
ば f (x) = e−1/x ）。テイラー展開できることは無限に
1
(3) f (x, y) = を原点の周りで 4 次まで
2
x + y2 + 1
テイラー展開せよ。
微分できる（C ∞ ）よりもさらに強い性質なので、C ω 級という。
(4) f (x, y) = eax cos by を原点の周りで 4 次までテイ
ラー展開せよ。
通常テイラー展開の応用では 2 次までが重要である：
1
f (x + h) = f (x) + f (x)h + f (x)h2 + · · ·
2
1
を原点の周りで 3 次までローラン展開せよ。
sin z
z
(6) z
を原点の周りで 3 次までローラン展開せよ。
e −1
(5)
それは、2 次関数は非常に簡単であること、グラフの図
形的な性質も 2 階微分までで実質決定されてしまうこ
となどによる。つまり、1 階微分では各点の変化率程
度しか分からないが、2 階微分まで考えて 2 次までテ
イラー展開しておくと、その点のごく近くでは、元の
関数は実質その 2 次関数と同じとみなしてもよい（但
しそれを証明するためには 3 次の項の係数について解
析する必要があることも多い）。
5.1
例題
• taylor(a*log(z), z, 2, 3)
点 z = 2 の周りで 3 次まで z について展開
• taylor(1/log(x+1), x, 0, 3)
負冪を含むものはローラン展開という。（関数論
の目標の一つ）
• taylor(sin(x+y), (x,0), (y,pi), 4)
5.2
課題
(1) 次を 0 の周りで 3 次までテイラー展開せよ。
(a) sin x
(b) cos x
(c) tan x
1
(d)
1−x
√
(e) 3 1 + x
(f) log(1 + 3x + 2x2 )
ex
(g)
1+x
(h) (1 + x)a （一般二項展開）
(i) (1 + x)1/x
4

Download Report