練習問題 8 の解答練習 8.1 つぎのの中に当てはまる言葉を入れよ． (1

練習問題 8 の解答
練習 8.1 つぎの
(1)
いて
の中に当てはまる言葉を入れよ．
2
母集団が N (0, σ ) の分布を持つとき，そこから得られた大きさ n の無作為標本 (X1 , . . . , Xn ) につ
X=
は自由度
の
n
Y =
は自由度
n−1
n
1
1 ∑ 2
2
2
(X
+
·
·
·
+
X
)
=
X
1
n
σ2
σ 2 j=1 j
カイ二乗
分布に従う．さらに
n
)
1 (
1 ∑
2
2
¯
¯
¯ 2
(X
−
X)
+
·
·
·
+
(X
−
X)
=
(Xj − X)
1
n
σ2
σ 2 j=1
の
¯ は標本平均
分布に従う．ただし，X
カイ二乗
∑
¯ = X1 + · · · + Xn = 1
X
Xj
n
n j=1
n
である．
(2)
X が N (0, 1) に従い，Y が X と独立で自由度 ν のカイ 2 乗分布に従うとき，
X
√
Y
ν
ν
の
ティー
分布に従う．
2
母集団が N (µ, σ ) の分布を持つとき，そこから得られた大きさ n の無作為標本 (X1 , . . . , Xn ) に
は自由度
(3)
ついて
¯ −µ
X
√
2
Un
n
は自由度
n−1
の
分布に従う．ただし，Un2 は不偏標本分散で
ティー
∑
)
1 (
¯ 2 + · · · + (Xn − X)
¯ 2 = 1
¯ 2
(X1 − X)
(Xj − X)
n−1
n − 1 j=1
n
Un2 =
である．
(4)
X が自由度 A のカイ 2 乗分布， Y は X と独立な自由度 B のカイ 2 乗分布に従うとき，
X
A
Y
B
は自由度 (
A
,
エフ
)の
B
分布に従う．
練習 8.2 推定する母数を θ とする．母集団の分布に従う確率変数が離散的な値をとるときは，尤度関数
L(θ) としては無作為標本 X1 , . . . , Xn に対してその実現するパラメータ θ に対する確率となる．たとえば，
(0 - 1) 分布の母集団から無作為標本をとった場合に母平均 θ を最尤法で推定する場合，標本 X1 , . . . , Xn
が実現する確率は
X1 + · · · + Xn =
n
∑
Xj
j=1
がちょうど Xj 達のうち 1 となったものの個数であることに注意すると
L(θ) = θ
∑n
j=1
Xj
(1 − θ)n−
と書ける．対数尤度関数 l(θ) = log L(θ) について
l(θ) =
(ア)
∑n
j=1
Xj
だから， l(θ) を最大にする θ の値 θˆ は
θˆ =
(イ)
となる．θˆ が最尤推定量を与える．
（ア）の答
n
∑
j=1
Xj log θ + (n −
n
∑
Xj ) log(1 − θ)
j=1
¯=
（イ）の答 X
1
n
∑n
j=1
Xj

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