統計学II レポート課題23：χ2 分布とt分布の性質

統計学 II レポート課題 23：χ2 分布と t 分布の性質
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提出期限は、11 月 15 日。
問題 (1) 互いに独立で同一の正規分布 N (µ1 , σ12 ) に従う n 個の確率変数を (X1 , X2 , . . . , Xn )
とおく。さらにそれとは独立に、互いに独立で同一の正規分布 N (µ2 , σ22 ) に従う m 個
の確率変数を (Y1 , Y2 , . . . , Ym ) とおく。確率変数 Z1 , Z2 , W1 と W2 を
n
∑
Xj − µ1
Z1 =
,
σ1
j=1
m
∑
Xj − µ 2
Z2 =
,
σ2
j=1
n (
∑
Xj − µ1 )2
W1 =
,
σ1
j=1
m (
∑
Xj − µ2 )2
W2 =
σ2
j=1
とおくとき Z1 , Z2 , W1 , W2 と W ′ = W1 + W2 の従う分布を答えよ。W ′ は何故その分
W1 /n
布に従うか理由も述べること。さらに T = W
はどのような分布に従うか？
2 /m
√
(2) (a) 自由度 (1, n) の F 分布に従う確率変数 V に対して U = V はどのような分布
に従うか？
(b) 正規母集団 N (µ, σ 2 ) からの n 個の標本 (X1 , X2 , . . . , Xn ) を考える。このとき標本
平均 X を標本分散（不偏）S 2 を用いて標準化した確率変数
X −µ
Z∗ = √
S 2 /n
の従う分布を答えよ。また Z ∗ 2 の分布はどうなるか？
解答 (1) 定義から Z1 ∼ N (0, n)、Z2 ∼ N (0, m)、W1 ∼ χ2 (n)、W1 ∼ χ2 (m)、T ∼
F (n, m) はすぐ分かる。W1 は互いに独立な n 個の標準正規確率変数 (Y1 , Y2 , . . . , Yn )
で W1 = Y12 + Y22 + · · · + Yn2 と表せ、また W2 は互いに独立な m 個の標準正規確率変
2
2
数 (Yn+1 , Yn+2 , . . . , Yn+m ) で W2 = Yn+1
+ · · · + Yn+m
と表せるから
2
2
+ · · · + Yn+m
W ′ = W1 + W2 = Y12 + Y22 + · · · + Yn2 + Yn+1
は、m + n 個の互いに独立な標準正規確率変数の２乗和となり、自由度 n + m の χ2
分布に従う。
(2) (a)U は自由度 n の t 分布の絶対値をとってできる分布に従う。(b)Z ∗ は自由度 n−1
の t 分布、Z ∗ 2 は自由度 (1, n − 1) の F 分布にそれぞれ従う。
（各分布の定義を理解し
ていれば容易に分かる。）
1

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