確 率 論 ～連続型確率分布３・正規分布からの確率変数～ 連続型確率分布 • • • • • • • 一様分布 正規分布 ガンマ分布（指数分布） カイ二乗分布 ベータ分布 t分布 F分布 などなど F分布 確率変数Xが自由度mのカイ二乗分布に 従い、確率変数Yが自由度nのカイ二乗分 布に従い、互いに独立であるとき は自由度m, nのF分布に従うという。 F分布の定義から1/Uは自由度n, mのF分 布に従う。 F分布 確率変数Uが自由度m, nのF分布に従うと き、その確率密度関数は になる。 F分布の確率密度関数(n=10) m=2 m=20 m=5 F分布の確率密度関数(m=10) n=20 n=5 n=2 F分布の期待値・分散 F分布の性質 正規分布からの確率変数 ここでは、平均μ,分散σ2の正規分布に従う 互いに独立な確率変数X1,X2,…,Xnを考える。 この状況は、平均μ,分散σ2の正規分布の分布 状況である母集団（調査対象の集団）からn個 の標本を、互いに独立に得ることを想定してい る。このような標本を無作為標本という。 標本平均・標本分散 平均μ,分散σ2の正規分布に従う互いに独立 な確率変数X1,X2,…,Xnが与えられたとき、 を標本平均という。また、 を標本分散という。 標本平均の分布１ の分布は平均μ, 分散σ2/nの正規分布 に従う。 n=50 μ=165, σ2=52 n=20 n=10 標本平均の分布２ 標本分散 は自由度（n－1）のt分布に従う。 としたとき と s2 の独立性 とすると であり、 と書くことができる。 として よって、u と V は独立である。独立な確率変数 で構成された と s2 も独立である。 がt分布に従う理由 確率変数 乗分布に従い、 は自由度（n－1）のカイ二 は標準正規分布 に従うので は自由度（n－1）のt 分布に従うという。 標本平均の分布２ 標準正規分布 自由度20のt分布 自由度10のt分布 自由度5のt分布 標本分散の分布 標本分散を として、 は自由度（n－1）のカイ二乗分布に従い、 標本平均 と独立である。 標本分散の分布 また であるので、これから標本分散 s2 の分布も 分かる。 2種類の確率変数における標本平 均・標本分散の分布 確率変数 が平均μ1,分散σ12の正規 分布に従い、確率変数 分散σ22の正規分布に従うとする。 それぞれの標本平均を とする。 が平均μ2, それぞれの標本分散を とする。このとき、 は自由度（n1+n2ｰ2）のt分布に従う。 また、 は自由度（n1ｰ１,n2ｰ１）のF分布に従う。 これらの結果は、統計学における「母平均の 仮説検定」や「母分散の仮説検定」などで用 いられる。 演 習 確率変数 がそれぞれ互いに独 立で、期待値μ、分散σ2のある確率分布に従うと する。つまり、 である。このとき、標本平均 の期待値と分散を求めよ。
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