N - C-faculty

[6] 正規分布からの標本
[6-1] 正規分布の復習
[6-2] 分散が既知のときの標本平均の分布
[6-3] 分散が既知のときの標本分散の分布
[6-4] 分散が未知のときの標本平均の分布
[6-5] 標本平均の差の分布
[6-6] 標本分散の比の分布
※４つの分布表が必要
[6-1]B 正規分布の復習
●平均  分散  の N (  , ) の確率密度関数
2
は
f ( x) 
2
( x   ) 2
1
2
2
e
2 2
で
特に、標準正規分布の確率密度関数は
1
f ( x) 
e
2
x2
2
[6-1a]C 正規分布の復習
●身長の分布など正規分布で表せる現象が多い。
●標本サイズが大きい場合の標本平均は、中心極限定
理によって正規分布に従う、とみなせる。
●確率変数 X が N (  , ) に従うとき、
2
X 

は
N (0,1) に従う。
●標準正規分布に従う確率変数 X が X  u となる確
率 P( X  u ) は分布表で与えられる。
[6-1b]B 正規分布の復習
●たとえば、確率変数 u が 0.25 以上の値をとる確率は
0.40129 であり、これを Z0.40129  0.25 と表記する。
[6-2]B 分散が既知のときの標本平均の分布
● N (  , ) から選ばれた n 個の標本の平均 X は
2
N ( , 2 / n) に従う。
●また、 X を次の式により標準化した Z は
N (0,1) に従う。
X 
Z
/ n
[6-2a]B 分散が既知のときの標本平均の分布
[例題 1]
ある高校の男子の身長は平均が 172cm で分散 25cm の
正規分布に従っている。この高校のあるクラスの男子
16 人の平均身長が 175cm 以上である確率はいくらか。
[解答 1]
N (172,25) から選ばれた 16 人の平均身長 X を標準化
X  172
した Z 
は N (0,1) に従う。したがって、
25 / 16
P( X  175)  P(Z  2.4)  0.0082
[6-3]C 分散が既知のときの標本分散の分布
●不偏分散 s
2
s 2  {( X1  X )2    ( X n  X )2} /( n  1)
●不偏分散の期待値
E(s 2 )   2
（  は母分散）
2
●標本から得られる分散の期待値が母分散と一致する
ためには、標本の平方和を n ではなく n  1 で割らな
くてはならない。
[6-3a]C 分散が既知のときの標本分散の分布
●  2 （カイ二乗）分布の復習
N (0,1) から無作為に選ばれた確率変数 X1 ,..., X n に
おいて、   X    X
2
2
1
2
k は
自由度 k の  分布にしたがう。
2
●  分布に従う確率変数 X が X  u となる確率
2
P( X  u) は分布表で与えられる。
[6-3b]C 分散が既知のときの標本分散の分布
v は自由度。たとえば自由度２の  2 分布に従う確率変
数が 1.38629 以上をとる確率は 0.5 である。これを
02.5 (2)  1.38629 と表記する。
[6-3c]C 分散が既知のときの標本分散の分布
2
● N (  , ) からの無作為に選ばれた確率変数
2
（ X1 ,..., X n ）に対する不偏分散 s に対して、
 
2
(n  1) s
2
2
2
 X1  X 
 Xn  X 

  

  
  
●  は自由度（ n  1 ）の  (n  1) に従う。
2
2
2
[6-3d]C 分散が既知のときの標本分散の分布
[例題 2]
母平均   4,
母分散   12 の正規分布に従う母集
2
団から大きさ n  10 の標本を抽出する。不偏分散 s が
2
 を超える確率が 0.05 となるような定数  の値（小数
第４位を四捨五入して第３位まで）を求めよ。
[解答 2]
n  10 なので、自由度９の  分布で確率が 0.05 とな
2
る  の値は 16.919 である。
2
2 
(n  1) s 2
2
s2
 9  16.919 .
12
2
したがって、標本分散 s が 22.559 を超える確率が 0.05
となることから、   22.559.
[6-4]C 分散が未知のときの標本平均の分布
●ｔ分布の復習
N(0,1)に従う確率変数 Z と  (k ) に従う確率変
2
数 Y が独立であるとき、次の変数 t は自由度 k の
t 分布に従う。
Z
t (k ) 
Y /k
●自由度が大きくなるとｔ分布は標準正規分布に近づ
く。ｔ分布に従う確率変数 X が X  u となる確率
P( X  u) は分布表で与えられる。
[6-4a]C 分散が未知のときの標本平均の分布
v は自由度。たとえば自由度２の t 分布に従う確率変
数が 1.061 以上をとる確率は 0.2 である。これを
t0.2 (2)  1.061 と表記する。
[6-4b]C 分散が未知のときの標本平均の分布
2
● N (  , ) から得られた n 個の標本の平均 X に対し
て、母分散  2 の代わりに不偏分散 s 2 を用いて標準
化すると
t
X 
s2 / n
t は自由度（ n  1 ）のｔ分布に従う。
2
● X の標準偏差 s / n を標準誤差という
[6-4c]C 分散が未知のときの標本平均の分布
[例題 3]
ある科目の試験の成績分布は N (70, ) に従っている
2
ことがわかっている。ただし、母分散は未知である。
受験者 20 人を無作為に選んだ標本平均が概ね 90％の
確率で当てはまるのは何点から何点の間か。ただし、
標本分散は 25 点とし、整数で答えよ。
[解答 3]
n  20 なので自由度 19 のｔ分布表における片側 0.05
の t 値を探すと 1.729。したがって、
X  70
 1.729 
 1.729 から
25 / 20
68.06  X  71.93
したがって、68 点以上 72 点以下
[6-5]C 標本平均の差の分布
～分散が既知の場合～
● N ( 1 , 12 ) からの m 個の標本平均 X と N ( 2 , 2 )
2
からの n 個の標本平均 Y との差 X  Y は
N (1  2 ,12 / m   22 / n) に従う。
●以下で示されるＺは標準正規分布に従う。
Z
X  Y  ( 1  2 )
 12 / m   22 / n
[6-5a]C 標本平均の差の分布
～分散が既知の場合～
[例題 4]
英語のＡ大学の学生の得点分布は N (70,25) に従い、Ｂ
大学の学生の得点分布は N (64,49) に従っている。いま、
Ａ大学から無作為に選んだ学生 20 人の平均得点がＢ大
学の学生 10 人の平均得点を下回る確率はいくらか
[解答 4]
0  (70  64)
Z
 2.41
25 / 20  49 / 10
したがって、 P(Z  2.41)  0.008
[6-5b]C 標本平均の差の分布
～分散が未知だが等しい場合～
● N ( 1 , 2 ) からの m 個の標本平均 X と N ( 2 , 2 )
からの n 個の標本平均 Y との差 X  Y の分布を考
える。ただし、  2 は未知とする。
●次式により合併した不偏分散を求める。
2
2
2
2
{(
X

X
)



(
X

X
)
}

{(
Y

Y
)



(
Y

Y
)
}
2
1
m
1
n
s 
mn2
●以下のｔは自由度 m  n  2 のｔ分布に従う。
( X  Y )  ( 1   2 )
t
s 1/ m  1/ n
●分散が未知で等しくない場合は難解なので省略。
[6-5b]C 標本平均の差の分布
～分散が未知だが等しい場合～
[例題 5]
母平均は等しく母分散は未知だが等しい異なる母集
団からそれぞれ８個の標本を選んだ。２つの標本平
均が、合併した不偏分散の平方根の 1.3 倍以上ずれ
る確率は概ねいくらか。
[解答 5]
合併した不偏分散の平方根を s とすると、
( X  Y )  ( 1  2 )
 1.3s
t

 2.6
s 1/ m  1/ n
s 1/ 8  1/ 8
自由度 14 のｔ分布の片側１％が 2.624 なので、答は
0.01。
[6-6]C 標本分散の比の分布
●Ｆ分布の復習
 2 (a) に従う確率変数 A と  2 (b) に従う確率変
数 B が独立であるとき、次の変数Ｆは自由度
(a, b) の F 分布に従う。
bA
F ( a, b) 
aB
●F 分布に従う確率変数 X が X  u となる確率
P( X  u) は分布表で与えられる。
[6-6a]C 標本分散の比の分布
v1 , v2 は自由度。たとえば自由度(2,3)の F 分布に従う確
率変数が 9.552 以上をとる確率は 0.05 である。これを
F0.05 (2,3)  9.552 と表記する。
[6-6b]C 標本分散の比の分布
2
●復習： N (  , ) からの無作為に選ばれた確率
変数 X に対する不偏分散 s 2 に対して、
(n  1) s 2
2
が自由度（ n  1 ）の  (n  1) に従う。
2
●母集団 N ( 1 , 1 ) と母集団 N ( 2 , 2 ) から無作為に
2
2
選ばれた m 個と n 個の確率変数の不偏分散の比
s12  22
s22  12
は自由度（m-1,n-1）の分布Ｆ(m-1,n-1)に従う。
[6-6c]C 標本分散の比の分布
[例題 6]
  4 の正規母集団から 10 個の標本をとり、   8
2
1
2
2
の正規母集団から８個の標本をとって、不偏分散の比
s12 / s22 が 1.84 を超える確率を求めよ。
[解答 6]
s12  22 s12 8
 2 は F(9,7)の分布に従うので、
2
2
s2  1 s2 4
2
1
2
2
2
1
2
2
s
s
は 0.5  F (9,7) に従う。
が 1.84 を超える確率は
s
s
F(9,7)が 3.68 を超える確率なので、答は 0.05。

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