数理統計演習後期 No.5 5.1.(ex.4.3.3) X1 , X2 , X3 , X4 ∼ X (区間 (0, 1) の一様分布)  1 (0 < x < 1) fX (x) = 0 その他    0 (x ≤ 0)   FX (x) = x (0 < x ≤ 1)    1 (1 < x) X(1) と X(4) の結合確率密度関数について調べる. F(1)(n) (x1 , xn ) = P (X(1) ≤ x1 , X(n) ≤ xn ) = P (X(n) ≤ xn ) − P (X(1) > x1 , X(n) > xn ) = [F (xn )]n − P (x1 < X1 ≤ xn ) · · · P (x1 < Xn ≤ xn ) x1 < xn のとき = [F (xn )]n − [F (xn ) − F (x1 )]n x1 ≥ xn のとき = [F (xn )]n また,x = 0, 1 のとき微分不可なので ∂2 F(1)(n) (x1 .xn ) ∂x1 ∂xn ∂ = [f (x1 )n[F (xn ) − F (x1 )]n−1 ] ∂xn f(1)(n) (x1 , xn ) = 2 = f (x1 )nf (xn )(n − 1)[F (x1 ) − F (xn )]n (x1 < xn ) x1 ≥ xn のときは ∂2 F⪰ (1)(n)(x1 , xn ) = 0 ∂x1 ∂xn 以上から X(1) と X(n) の結合確率密度関数は  n(n − 1)[F (x ) − F (x )]n−2 f (x )f (x ) (x1 < xn ) n 1 1 n f(1)(n) (x1 , xn ) = 0 その他 f(1)(n) (x1 , xn ) の R = X(n) − X(1) , X(1) = X(1) の変換を考える.    r = x − x x = r + x 0 < x < 1 n 1 n 1 n ⇐⇒ x = x x = x 0 < x < 1 1 1 1 1 1 r 1 1 1 x1  0 < r + x < 1 1 ⇐⇒ 0 < x < 1 1 xn J = ∂r x1 ∂r xn ∂x1 = 1 1 = 1 x1 0 1 ∂x1 より,fR,X(1) (r, x1 ) = fX(n) ,X(1) (r + x1 .x1 ) ∫ fR (r) = ∫ ∞ −∞ 1−r n(n − 1)[F (r + x1 ) − F (x1 )]n−2 f (x1 )f (r + x1 )dx1 fR,X(1) (r, x1 )dx1 = 0 ∫ 1−r = n(n − 1) = n(n − 1)r ∫ (r + x1 − x1 )n−2 dx1 0 n−2 (1 − r) (0 < r < 1) r n(n − 1)S n−2 (1 − S)dS FR (r) = ∫ 0 r n(n − 1)(S n−2 − S n−1 )dS = 0 = nrn−1 − (n − 1)rn n = 4, r = 1 2 のとき FR ( ) ( )3 ( )4 1 1 1 5 =4 −3 = 2 2 2 16 より, P ( ) 1 5 11 R≥ =1− = 2 16 16 ∫ 1 3 E(R) = rn(n − 1)rn−2 (1 − r)dr = 5 0 5.2.(ex.4.4.2) X1 , X2 , X3 , . . . , X9 ∼ N (1, 4) (i) ( P (X1 ≤ 0) = P ) X1 − 1 ≤ 0.5 2 = P (Z1 ≤ −0.5) (∵ Z1 = X1 − 1 ∼ N (0, 1)) 2 = 1 − P (Z1 ≤ 0.5) = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.691462 = 0.3085 (ii) 1− 9 ∏ P (Xi > 0) = 1 − i=1 9 ∏ i=1 =1− 9 ∏ ( P ) Xi − 1 > −0.5 2 P (Zi > −0.5) i=1 =1− 9 ∏ P (Zi < 0.5) i=1 = 1 − {Φ(0.5)}9 = 0.9638 2 ( ) ¯ ∼ 1, 4 (iii)X 9 ¯ ≤ 0) = P P (X ( ¯ X −1 2 3 <− 3 2 ) = P (Z ≤ −1.5) = P (Z ≥ 1.5) = 1 − Φ(1.5) = 0.0668 (iv) ( ¯ ≤ 0) = P P (X 1∑ Xi ≤ 0 9 i−1 9 ) =P ( 9 ∑ ) Xi ≤ 0 i=1 よって P ( 9 ∑ ) Xi ≤ 0 ¯ ≤ 0) = 0.0668 = P (X i=1 5.3.(ex.4.4.5) (3.10.1)F 分布 X と Y は独立,X ∼ χ2m , Y ∼ χ2n とすると W = X/m Y /n は自由度 m, n の F 分布 ∑ 1 ∑ 2 ¯= 1 ¯ 2 Xi ∼ N (µ1 , σ12 )(1 ≤ i ≤ m), X Xi , SX = (Xi − X) m i=1 m i=1 m m 1∑ 1∑ Yi , SY2 = (Yi − Y¯ )2 Yi ∼ N (µ2 , σ12 )(1 ≤ i ≤ n), Y¯ = n i=1 n i=1 m ] ] [ n 2 m /n − 1 S 2/m − 1 ÷ S X σ12 σ22 Y 2 mσ22 SX nσ 2 S 2 = / 1 Y m−1 n−1 [ W = F 分布の定義より,W は自由度 m − 1, n − 1 の F 分布に従う 2 3 n