土木計画学第８回（１１月３０日）計画における予測１担当：榊原弘之土木計画における循環的なプロセス問題の明確化 YES! 意思決定 Decision Making 調査 NO! OK？予測解釈と評価代替案の設計本日の内容・回帰分析について説明する．１．回帰分析２．重回帰分析３．最小2乗法複数の調査項目間の相関の有無の検討共分散 (covariance) sxy    fij{xi  x}{ y j  y} 相関係数 (correlation coefficient) i j n r s xy sx s y x,yの標準偏差回帰分析(regression analysis) x,yの組のデータから， x,yの線形の（直線の）関係式を導く． y y x x xが1種類の場合：単回帰， xが2種類以上の場合：重回帰想定：あるxiに対し，yiは平均値ηiを中心に正規分布する． y    0  1x yi i i   0  1xi 0 N (0, 2 ) xi x 切片  0 と傾き（回帰係数） 1 が母数母数の推定値 ˆ0 , ˆ1 の下でのyの推定値と yの実現値との差：残差(residual) ei  yi  yˆi  yi  (ˆ0  ˆ1xi ) 最小2乗法(method of least squares) 残差2乗和 S e  e12  e22  ...  en2 が最小となるような ˆ0 , ˆ1 を求める． ˆ0 , ˆ1 で偏微分して0になるようにする（点推定と同じ）． Se  n  n  { yi  ( ˆ0  ˆ1xi )}2 より， i 1 i 1 n S e  2 ( yi  ˆ0  ˆ1xi )(1)  0 ˆ0 i 1 n S e  2 ( yi  ˆ0  ˆ1xi )( xi )  0 ˆ1 i 1 n n n ˆ0 1  ˆ1 xi  yi ① i 1 i 1 i 1 n n n ˆ0 xi  ˆ1 xi2  xi yi ② i 1 i 1 i 1 ei2          ①の両辺をn（標本数）で割ると ˆ0  ˆ1x  y 回帰直線は必ず ( x , y ) を通る ˆ0  ˆ1x  y を②に代入すると ( ˆ1x  y ) n  i 1 xi  ˆ1 n  i 1 xi2  n  xi yi i 1 S xy ˆ 1  S xx S xy ˆ ˆ  o  y  1x  y  x S xx ここで    x i  n n  i 1  S xx  ( xi  x ) 2  xi2   n i 1 i 1   n  2  偏差平方和  n  n   x   y i  i  n n   i 1  i 1  S xy  ( xi  x )( yi  y )  xi yi   n i 1 i 1 偏差積和     このとき，最小化された残差2乗和は Se  n  i 1 ei2  n  { yi  ( ˆ0  ˆ1xi )}2 i 1  S yy  ˆ12 S xx 回帰分析結果はどんなデータからも得られる．結果が意味あるものか否かが問題となる．検定の必要性 I：分散分析 II：回帰係数の検定 I：分散分析 n  n ( yi  y ) 2  i 1  ( yi  yˆ i  yˆ i  y ) 2 i 1 n   {ei  ( yˆ i  y )}2 i 1 n   i 1 n ei 2   ( yˆ i  y ) 2 i 1 残差2乗和回帰平方和残差2乗和の割合が小さいほど良い n 寄与率 R2   ( yˆi  y ) 2  ( yi  y ) 2 i 1 n i 1 回帰直線が，相関関係をどの程度説明できているか相関係数の2乗に一致分散分析帰無仮説：回帰直線はyの推定の役に立たない n 分散比 F0   ( yˆ i  y ) 2 i 1 n  はF分布F(1,n-2) に従う ei 2 ( n  2) i 1 有意水準αのとき， F0  F (1, n  2, ) であれば帰無仮説棄却（回帰直線は意味がある） II：回帰係数の検定１．帰無仮説 1  0 （yは実はxと関係ないのではないか） ˆ1  1 母数が 1 のとき，は標準正規分布  2 / S xx N(0,1)に従う．通常σがわからない y yi 0 N (0, 2 ) xi x t ˆ1  1 Se /{(n  2) S xx } 帰無仮説 1  0 ˆ1 Se /{(n  2)S xx } は自由度（n-2）のt分布に従う．であるから，の絶対値がを上回っているか否か検定する．（上回っていれば棄却）   tn2   2 回帰係数の検定２．帰無仮説  0  0 ˆ0 t (1 / n  x 2 / S xx ){S e /(n  2)} は自由度（n-2）のt分布に従う． ˆ0 t の絶対値が 2 (1 / n  x / S xx ){S e /(n  2)} を上回っているか否か検定する．（上回っていれば棄却）   tn2   2