数理情報学９：レポート課題 3. 信頼区間に関する数値実験を次のように行う．R などの計算機言語を用いて 20 個の独立なデータ X1, . . . , X20 を正規分布から生成する．ただし期待値と分 散は適当に定める (正規分布にしたがう乱数を生成する R コマンドは rnorm． 使い方は ?rnorm で調べられる)．以下の問に答えよ． • 以下の問題１∼６から３題以上選んで解答せよ． (a) 上で生成したデータに対して，分散未知の正規分布を仮定して，期待値の 90% 信頼区間を構成せよ． (b) 上で生成したデータに対して，期待値のブートストラップ 90% 信頼区間を 構成せよ． • 締切：2015 年 1 月 15 日 (木) の講義時 問題： 1. 100 世帯に調査したとき，あるテレビ番組の視聴率が 30% だったとする (100 世 帯中 30 世帯が見ていた)．この視聴率の統計的信頼性について考察せよ． 補足：適当な仮定 (正規近似が成り立つ等) のもとで，視聴率に信頼区間を付与 するなどして，どの程度の信頼性があるかを評価する． 2. サイコロを 30 回振ったとき，１の目が 9 回が出た．このサイコロは１の目が出 やすいと言えるか，考察せよ． 4. n + m 個のデータ X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym はすべて独立であり，以下のよう な正規分布にしたがうとする： X1, . . . , Xn∼i .i .d .N (µ1, σ 2), Y1, . . . , Ym∼i .i .d .N (µ2, σ 2). ここで分散 σ 2 は既知とする．このとき µ1 −µ2 の信頼区間を構成する．µ1 −µ2 の推定量として T = n m 1! 1 ! Xi − Yj . n i=1 m j=1 1/4 を考える．(T は正規分布にしたがう) 2/4 6. X1, . . . , Xn ∼i .i .d . N (µ, 1) として，期待値 µ について以下の検定を行う： (a) T が µ1 − µ2 の不偏推定量であることを示せ． (b) T の分散を求めよ． (c) T を用いて，µ1 − µ2 の 100(1 − α)% 信頼区間を 帰無仮説 H0 : µ = 0, 対立仮説 H1 : µ = 1 分散が 1 であることは既知とする． (a) ネイマン・ピアソンの補題を用いて，有意水準 α の棄却域を構成せよ． (b) 標準正規分布の分布関数を Φ(x) とする．(a) で求めた棄却域の第 II 種の誤 り確率を，分布関数 Φ(x) を用いて表せ． P (µ1 − µ2 ∈ [T − c, T + c]) = 1 − α となるように構成する．このとき c の値を求めよ． 5. n 個の確率変数 X1, X2, . . . , Xn ∼i .i .d . N (0, σ 2) が観測されたとき，分散 σ 2 について以下の検定をおこなう． H0 : σ 2 = σ02, H1 : σ 2 = σ12. ただし σ02 < σ12 とする．ネイマン・ピアソンの補題から構成される棄却域は， n ! " # 適当な定数 c を用いて W = (X1, . . . , Xn) : Xi2 ≥ c と表されること を示せ． i=1 3/4 4/4
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