〈2〉 S
=
1
1
⎛ 1
⎞
bcsin A ⎜ = casin B = absinC ⎟
⎝ 2
⎠
2
2
［証明］
△ ABC の頂点 A から対辺 BC に垂線を下ろし、その足を H とすると、
△ ABC
=
1
BC ⋅ AH
2
1
BC ⋅ ABsin B
2
1
= a ⋅ csin B
2
1
= casin B
2
∴ S=
以下、同様にして証明される。
〈3〉 S
=
abc
4R
［証明］
〈2〉より、 S
=
1
bcsin A
2
…①
ここで、正弦定理より、
a
= 2R （ R は外接円の半径）
sin A
a
sin A =
2R
∴
これを①に代入すると、
1
bcsin A
2
1
a
= bc ⋅
2
2R
abc
=
4R
S=
〈4〉 S
a + b + c⎞
⎛
= rs ⎜ s =
⎟
⎝
2 ⎠
［証明］
△ ABC の内接円（半径 r ）の中心 O から辺 BC,
を結ぶ。
CA, AB に垂線 OH1, OH 2 , OH 3 を下ろし、OA, OB, OC
= △ OAB + △ OBC + △ OCA
1
1
1
∴ S = BC ⋅OH1 + CA ⋅OH 2 + AB ⋅OH 3
2
2
2
ここで、 OH1 = OH 2 = OH 3 = r だから、
1
1
1
S = ar + br + cr
2
2
2
a+b+c
= r⋅
2
a+b+c
ここで、 s =
とおくと、
2
S = rs
△ ABC
〈5〉 S
= s ( s − a)( s − b)( s − c)
a + b + c⎞
⎛
⎜⎝ s =
⎟
2 ⎠
［証明］
△ ABC に余弦定理を適用して、
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b2 + c2 − a2
2bc
2
2
ここで、 sin A + cos A = 1 より、
sin 2 A = 1 − cos2 A
∴
cos A =
⎛ b2 + c2 − a2 ⎞
=1− ⎜
⎟⎠
2bc
⎝
2
⎛ b2 + c2 − a2 ⎞ ⎛ b2 + c2 − a2 ⎞
= ⎜1 +
⎟⎠ ⎜⎝ 1 −
⎟⎠
2bc
2bc
⎝
2
2
b + c) − a2 a2 − (b − c)
(
=
⋅
=
2bc
2bc
{(b + c) + a}{(b + c) − a}{a + (b − c)}{a − (b − c)}
( 2bc )2
( a + b + c ) ( −a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c )
=
( 2bc )2
ここで、 s =
a+b+c
とおくと、
2
2s = a + b + c
2s − 2a = −a + b + c
2 ( s − a ) = −a + b + c
∴
2 ( s − b) = a − b + c
2 (s − c) = a + b − c
同様に、
よって、
sin 2 A =
ここで、 0
!
よって、
2s ⋅ 2 ( s − a ) ⋅ 2 ( s − b ) ⋅ 2 ( s − c )
( 2bc )2
22 s ( s − a)( s − b)( s − c)
=
( bc )2
< A < 180! だから、 sin A > 0
sin A =
2 s ( s − a)( s − b)( s − c)
bc
〈2〉より、
S=
=
1
bcsin A
2
2 s ( s − a)( s − b)( s − c)
1
bc ⋅
2
bc
= s ( s − a)( s − b)( s − c)
〈6〉 S
=
1
x1 y2 − x2 y1
2
［証明］
( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) ( x1 < 0, x2 > 0, y1 > 0, y2 > 0 ) とし、辺 AB と y 軸との交点を C とすると、
直線 AB は、
( x1 − x2 ) ( y − y1 ) = ( y1 − y2 ) ( x − x1 )
点A
ここで、 x
= 0 とおくと、
( x1 − x2 ) ( y − y1 ) = −x1 ( y1 − y2 )
y − y1 = −
∴
x1 ( y1 − y2 )
x1 − x2
y = y1 −
x1 ( y1 − y2 )
x1 − x2
y1 ( x1 − x2 ) − x1 ( y1 − y2 )
x1 − x2
x y − x2 y1
= 1 2
x1 − x2
=
よって、 △ OAB = △ OCA + △ OBC
1
1
S = OC ⋅ ( −x1 ) + OC ⋅ x2
2
2
1
= OC ( x2 − x1 )
2
1 xy −yx
= ⋅ 1 2 1 2 ⋅ ( x2 − x1 )
2 x1 − x2
=−
=
1
( x1 y2 − y1 x2 )
2
1
x1 y2 − y1 x2
2
x1, x2 , y1, y2 の符号をすべての場合について考えて、
1
S = x1 y2 − y1 x2
2
〈7〉 S
=
1
x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )
2
［証明］
1
xa yb − yb xa …①
2
これを x 軸方向に x3 、 y 軸方向に y3 平行移動したとき、点 A0 ( xa , ya ) は点 A ( x1, y1 ) 、点 B0 ( xb , yb ) は
点 A0
点B
( xa, ya ), B0 ( xb, yb ) とするとき、△ OA0 B0 の面積は、〈5〉より、 S =
( x2, y2 ) 、原点 O ( 0, 0 ) は点 C ( x3, y3 ) になるとする。
⎧ xa + x3 = x1
⎧ xa = x1 − x3
⎪y + y = y
⎪y = y − y
⎪ a 3
⎪ a
1
1
3
このとき、 ⎨
だから、 ⎨
x
+
x
=
x
x
=
x
−
x
3
2
2
3
⎪ b
⎪ b
⎪⎩ yb + y3 = y2
⎪⎩ yb = y2 − y3
これらを①に代入すると、
1
2
1
=
2
1
=
2
1
=
2
S=
xa yb − ya xb
( x1 − x3 ) ( y2 − y3 ) − ( y1 − y3 ) ( x2 − x3 )
x1 ( y2 − y3 ) − x3 ( y2 − y3 ) − x2 ( y1 − y3 ) + x3 ( y1 − y3 )
x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )
〈8〉 S
=
!2 !2 ! !
a b − a⋅b
( )
1
2
［証明］
2
!!!"
" !!!" "
AC = b とすると、
! ! ! !
a⋅b
このとき、 a ⋅ b = a b cos A より、 cos A = ! !
a b
△ ABC において、 AB = a,
sin 2 A + cos2 A = 1 より、
sin 2 A = 1 − cos2 A
2
⎛ a! ⋅ b! ⎞
=1− ⎜ ! ! ⎟
⎜⎝ a ⋅ b ⎟⎠
! ! 2 ! !
a ⋅ b − a⋅b
=
! ! 2
a⋅b
(
ここで、 0
!
) ( )
( )
2
< A < 180! だから、 sin A > 0
! ! 2 ! !
a ⋅ b − a⋅b
! !
sin A =
a⋅b
(
) ( )
2
〈2〉より、
1
AB ⋅ AC sin A
2
!2 !2 ! !
a b − a⋅b
1! !
! !
= a b⋅
2
a b
S=
( )
=
1
2
!2 !2 ! !
a b − a⋅b
( )
2
2