( ) ヘロンの公式にもチャレンジしよう !

　これまでの解説で，三角比の図形への応用の講義はほぼ終わっているん
だけれど，最後にもう 1 つ， “ ヘロンの公式 ” について教えよう。
ヘロンの公式とは， △ ABC の 3 辺の長さ a ， b ， c が分かれば，これら
とができる，とても便利な公式なんだ。
まず，このヘロンの公式を示そう。
ヘロンの公式
△ABC の 3 辺の長さ a，b，c が与えら
2
c
を使って， △ A BC の
面積 S
B
面積 S は，次のように求められる。
a
2
次関数
＋b＋c
講義
A
れているとき，
b
C
S ＝ √ s ( s − a )( s − b )( s − c )　……( ＊ )
そうだね，まずこの公式を利用してみよう。
練習問題 3 2 ( P 2 0 1 ) の ( 1 ) で， AB ＝ c ＝ 5 ，
b ＝ 7 ，c ＝ 5 が分かったので， ( 2 ) の △ A BC
c＝5
B
b＝7
C
a＝8
の面積 S は，ヘロンの公式から求めることができるんだね。
まず， s ＝
a ＋ b ＋ c ＝ 8 ＋ 7 ＋ 5 ＝ 20 ＝
1 0 を求めて，ヘロンの公式を利
2
2
2
用すると， △ A B C の面積 S は，次のように計算できる。
205
データの分析
この時点で，△ A B C の 3 辺の長さ a ＝ 8 ，
A
図形と計量
講義
ヘロンの公式って，意外とキレイな形をしていて，使えそうだって ! ?
C A ＝ b ＝ 7 ， c o sA ＝ 1 から，余弦定理を
7
用いて， a ＝ 8 を導いたね。
集合と論理
から cos や si n の値を求めることなしに，直接 △ A BC の面積を求めるこ
s＝a
1
2
3
4
5
数と式
●　ヘロンの公式にもチャレンジしよう !
S ＝ √s (s − a) (s − b) (s − c)
10 10−8
10−7
A
10−5
c＝5
＝ √10･2･3･5 ＝ √10 × 3
2
b＝7
B
C
a＝8
＝ 1 0 √ 3 となって， P2 0 2 で求めた ( 2 ) の結果と一致するんだね。
ヘロンの公式の威力が分かったでしょう?　ン? でも，この公式をどう
やったら導けるのか，知りたいって ? 証明は結構大変なんだけれど，今
のキミ達なら，十分理解できると思うから，ここで示しておこう。
A
△ A B C の面積 S は， 2 辺 b ， c と s i n A
c
の値が分かれば，次式で求まるんだったね。
S ＝ 1 b c si n A ……①
2
この ① の両辺を 2 乗して，右辺を変形して
A
B
いってみよう。
S 2 ＝ 1 b 2 ･ c 2 ･ si n 2 A
4
2
三角比の基本公式
s i n 2 A ＋ cos 2 A ＝ 1
1 − cos A
＝
1 b 2 c 2 ( 1 − cos 2 A )
4
＝
1 b 2c 2( ＋
1 cosA ) ( 1 − cosA )
4
＝
(
b 2 ＋ c 2− a 2
2bc
206
a 2 − b 2 ＝ ( a ＋ b )( a − b )
余弦定理 ( Ⅱ )
b 2 ＋ c 2− a 2
2bc
2
2
＋ c −a
b2　1 b 2c 2 ＋ 1
4
2bc
)( 1
2 b c ＋ b 2 ＋ c 2− a 2
2bc
(b 2 ＋ 2 b c ＋ c 2)− a 2
＝
2bc
(b ＋ c )2− a 2
＝
2bc
公式
1 2 − cos 2 A ＝ ( 1 ＋ cosA )( 1 − cosA )
cosA ＝
b ＋ c −a
−　2
2
2b c
2
)
2 b c − (b 2 ＋ c 2− a 2)
2bc
a 2− (b 2− 2 b c ＋ c 2)
＝
2bc
a 2− (b − c )2
＝
2bc
b 2 ＋ c 2− a 2
2bc
b
C
(b ＋ c) −a
S 2 ＝ 1 b 2c 2 ×
2bc
4
2
＝
2
×
a 2− ( b − c ) 2
2bc
1 { ( b ＋ c ) 2 − a 2 }{ a 2 − ( b − c ) 2 }
16
( b ＋ c ＋ a )( b ＋ c − a ) { a − ( b − c ) } ( a ＋ b − c )
公式
α 2 −β 2 ＝ (α ＋β )(α −β )
1 ( a ＋ b ＋ c )( − a ＋ b ＋ c )( a − b ＋ c )( a ＋ b − c )
24
割ったんだね。
講義
2
次関数
a ＋ b ＋ c × − a ＋ b ＋ c × a − b ＋ c × a ＋ b − c　＝
……②
2
2
2
2
(s−a)
(s−b)
(s−c)
s
4 つの ( ) を
2 で 1 つずつ
フ〜，大変だって ! ? でも，後もう少しだ。
a＋b＋c ＝s
とおくと
2
s − a ＝ a ＋ b ＋ c − a ＝ a ＋ b ＋ c − 2a ＝ − a ＋ b ＋ c
2
2
2
a ＋ b ＋ c − 2b ＝ a − b ＋ c
−b＝
2
2
s−c＝a＋b＋c
2
−c＝
講義
図形と計量
s−b＝a＋b＋c
2
a ＋ b ＋ c − 2c ＝ a ＋ b − c
となるので，
2
2
これらを ② に代入すると
ここで，当然， △ A BC の面積 S は S ＞ 0 より， ③ の両辺の正の平方根を
) が，導か
れるんだね。
公式の証明って，かなり大変なので， 1 回で理解しようと焦ることはな
いよ。何度も納得がいくまで見返して，自分のものにしていってくれたら
いいんだよ。
207
データの分析
S 2 ＝ s ･ ( s − a ) ･ ( s − b ) ･ ( s − c ) ……③ となる。
とると，ヘロンの公式： S ＝ √ s ( s − a )( s − b )( s − c ) ……( ＊
集合と論理
＝
1
2
3
4
5
数と式
よって，
それでは，例題で練習しておこう。
( a ) 3 辺の長さ a ＝ 5 ， b ＝ 6 ， c ＝ 7 の △ ABC
A
の面積 S を求めてみよう。
c＝7
まず，s ＝
1 (a ＋ b ＋ c )
2
＝
1 ( 5 ＋ 6 ＋ 7 ) ＝ 1 8 ＝ 9 を求めて，
2
2
B
b＝6
a＝5
ヘロンの公式を用いると
C
S ＝ √ s ( s − a )( s − b )( s − c ) ＝ √ 9 × 4 × 3 × 2
9
9−5
9−6
9−7
32 × 22 × 31 × 21 ＝ 33 × 23 ＝ 63 ＝ 62 × 6
＝ √ 6 × 6 ＝ 6 √ 6 と，スグに答えが求まるんだね。
2
(b)3 辺の長さが，a ＝ 5 ＋ √5，b ＝ 6，
c ＝ 5 − √ 5 の △ A BC の内接円の
半径 r を求めてみよう。
まず，s ＝
1 (a ＋ b ＋ c )
2
A
b＝6
c ＝ 5 −√5
B
a ＝ 5 ＋ √5
1 ( ＋＋＋
16 ＝
5 √5 6 5 − √5) ＝
8 より
2
2
△ A B C の面積 S は，ヘロンの公式から
＝
S ＝ √s･(s − a)･(s − b)･(s − c)
8
8 − (5 ＋ √ 5 ) 8 − 6 8 − (5 − √ 5 )
＝ √8･(3 −
√5)･2･(3 ＋ √5)
＝ √16･(3 −
3
2
√5)･(3 ＋ √5) ＝ √16 × 4 ＝ √64 ＝ 8
− (√ 5 ) ＝ 9 − 5 ＝ 4
2
次に， △ A B C の内接円の半径 r を求める公式は，
S ＝
8
1 (a ＋ b ＋ c) r
･より， 8 ＝ 8 ･ r
2
s＝8
よって， r ＝ 1 が求まるんだね。納得いった ?
208
C
少し難しかった ?
でも,
やれば意外とできるもんだろ
う。大いに自信をもっていいよ。このレベルの問題が解けるということ
は, 易しい受験問題なら十分解けるってことだから, 偏差値で 50 程度に
はなってるはずなんだよ。そして , 数学って , いったんきっかけをつかむ
ず実力を定着させておかないといけないから, 納得して理解できた後だか
らこそ , 何回も反復練習して, 繰り返し自力で解いてみることだ。これで ,
本物の実力が定着するんだよ。
それでは , 三角比も大きな山場を越えたけれど , さらに次回は, 三角比の
集合と論理
と一気に実力が伸びていく科目だから , さらに期待していいよ。でも , 必
1
2
3
4
5
数と式
どうだった ?
講義
2
次関数
空間図形への応用についてもチャレンジしていこう！
それじゃ , 今日の講義はこれまでだ ! みんな, 元気で … !!
図形と計量
講義
データの分析
209

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