期末テストの解答と講評 - econ.keio.ac.jp

統計学Ⅰ 2016 年度春学期問題と解答
以下の設問の解答は解答用紙（別紙）を半分に折り左右２段組みにしたうえで問題順に記
しなさい。＊印の問題では答えに至る途中過程も記しなさい
数表
標準正規分布 Z について P(Z＜1.645)=0.95, P(Z＜1.96)=0.975
1 標本統計量に関する以下の問いに答えよ。(20)
(1)標本平均 x や標本分散 s2 が持つ共通の望ましい性質を何というか。
(2) x や s2 が持つ共通の欠点は何か。
(3) x の代わりに(2)の欠点を補う統計量として何が利用されるか。一つ挙げよ。
(4)変動係数の定義とその利点を簡潔に述べよ。
解答各 5 点
(1)不偏性 4 点(普遍性 etc 誤記、不偏性と効率性)、0 点(BLUE 等)
(2)外れ値の影響を受けやすい
(3)中央値または刈り込み平均 0 点(変動係数、歪度、尖度過去問の弊害？)
(4)s/ x , 水準に差のある場合の散らばりの比較に利用できる定義は言葉で説明しても可だが
x /s は× 3 点(定義 or 利点のみ正解)、利点として散らばりの尺度だけは×
2 ある学生 i が近視である xi=1 か否か xi=0 がベルヌイ分布 f(xi)=θxi(1－θ)1－xi に従うと
き以下の問いに答えよ。（25）
(1*)確率変数 xi の平均 E(xi)と分散 Var(xi)を定義から導出せよ。
(2)無作為に選んだ n 人の学生のうちの近視の学生の数 y＝Σxi はどんな確率分布に従うか。
(3)無作為とはどのような状況かを簡潔に説明しなさい。
(4)n を増やしていくと y はどのような確率分布(平均と分散も答えよ)に従うか。
解答
(1)E(x)=1×θ+0×(1－θ)=θ, Var(x)=(1－θ)2 ×θ+(0－θ)2 ×(1－θ)=θ(1－θ)[( 1－
θ)+θ]=θ(1－θ) 各 5 点、4 点(Var(x)=E(x2)－μ2=…分散公式は定義ではない) 0 点
(E(x)=θや Var(x)=θ(1-θ)の答えだけ、ベルヌイ分布は離散確率変数なのに∫xf(x)dx など
連続確率変数の誤った定義は×)
(2)2 項分布 5 点 0 点(正規分布、ベルヌイ分布)
(3)互いに独立である(標本選択が他の標本の影響を受けない) 5 点 0 点(ランダム、偏り
がない) ランダムは無作為の英訳で答えにはならない、標本は「無作為かつ偏りなく」選
ぶ必要があるが、無作為と偏りのないは異なる基準です
(4)平均 nθ、分散 nθ(1-θ)の正規分布 5 点 3 点(正規分布のみ) 2 点(標準正規分布、0 点
にしたいけど、この回答が多かった。なぜΣx の平均が 0 に近づくのか？ありえない)
3 (2 の続き)無作為に選んだ n 人の学生の近視の割合 p=y/n について以下の問いに答えな
さい。(25)
(1*)近視の割合 p の平均 E(p)と分散 Var(p)をモーメント公式よりθと n の式にしなさい。
(2*)n=100 の調査で p=0.5 であったとき、母数 θ の 95％信頼区間を求めなさい。
(3*)「学生の近視率θは 0.8 である」という仮説を有意水準 5%で検定しなさい。
解答
(1)E(y/n)=1/nE(y)=1/n(nθ)=θ、Var(y/n)=1/n2Var(y)=1/n2{nθ(1-θ)}=θ(1-θ)/n 各 5 点 *
がついているので答えだけは 0 点モーメント公式の演算が出来るか否かが問われている
(2)0.5－1.96 0.5  0. 5 100 =0.402＜θ＜0.598=0.5＋1.96 0.5  0.5 100 5 点 4 点
(1.96 を 2 で近似) 3 点(計算ミス) 0 点(1.645 で計算)
(3)H0:θ=0.8, H1:θ＜0.8 とする。帰無仮説 H0:θ=0.8 が真であるとすると、p～N(0.8,(0.04)2 =
0.8  0.2
100 )となるが、p=0.5 を標準化すると z=
p 
 (1   )
n
=(0.5-0.8)/0.04=-7.5
＞-1.645 なので、対立仮説 H1 は棄却される。ゆえに有意水準 5％で 0.8 未満とは言えない。
10 点満点各ステップで誤りがあると 3 点減点した。
多い誤りは①仮説設定の誤り(H0:θ=0.5、
H0:μ<0.8 など) ②標準化の誤り（分散を p=0.5 で計算して z=(0.5-0.8)/0.05=－6）③臨界値の
誤り(1.96) ④結論の誤りなど。検定は重要なのに出来が悪かった。秋学期は検定が出来ない
と単位が取れなくなりますよ。
4 都心のあるバス停では、待ち時間 X が 0～5 分の一様分布に従うという。 (20)
(1)確率変数 X の確率密度関数 f(X)を求めなさい。
(2*)分布関数 F(X)を定義から導出しなさい。
(3*)確率変数 X の平均 E(X)と分散 Var(X)を求めなさい。
解答
(1)f(X)=1/5 5 点 1/6 という人がいたが、0.1.2…,6 のような離散確率変数ではない密度
関数と書いてあるから連続確率変数
(2)F(X)=
(3)E(X)=

5
0


X
0
5
0
f ( x) dx = 15 x 0  15 X
X
定義を間違えて F(X)=1 とする人が散見された
 x   25 =2.5、Var(X)=E(x )－ 
 x   125  各 5 点
1
2
2 5
0
3 5
0
1
15
xf ( x)dx = 15
x 2 f ( x)dx = 15
5点
1
3
1
10
2

5 2
2
= 1001275 
25
12
25
3
すべて計算ミスは 3 点とした
5 ある企業が作る部品の国別生産シェアが国内 P(XJ)=50％、アジア P(XA)=30％、米国
P(XU)=20％で、それぞれの不良品率が P(Y|XJ)=1%、P(Y|XA)=3%、P(Y|XU)=2%であるとき、
以下の問いに答えよ。(10)
(1*)この会社の不良品率 P(Y)を求めなさい。
(2*)この会社の不良品はどこで作られた確率が最も高くなるか。
解答
(1) 全確率の公式より
P(Y)=P(Y∩XJ)+P(Y∩XA)+P(Y∩XE)=0.5*0.01+0.3*0.03+0.2*0.02=18/1000 5 点
(2)ベイズの定理より
日本産 P(XJ|Y)= P(Y∩EJ)/P(Y)=(5/1000)÷(18/1000)=5/18
アジア産 P(XA|Y)= P(Y∩XA)/P(Y)=(9/1000)÷(18/1000)=9/18=0.5
米国産 P(XE|Y)= P(Y∩XE)/P(Y)=(4/1000)÷(18/1000)=4/18
なのでアジア産である確率が最も高くなる。 5 点 *がついているから答えだけは減点
採点結果
受験者数 341 人平均点 62 点標準偏差 22 点最高点 100 点
下記は期末試験(100 点満点)の度数分布です。
最低点 0 点
多くの学生が 70 点以上でしたが、50 点未満の人もやや多いです。
成績は「総点＝レポート乗数の平均値×期末試験得点」に基づき、A(総点≧80) B(80>総点≧
60) C(60>総点≧40) D(総点＜40)でつけます。総点＜50 を D としたら D の割合が高くなっ
たので、条件を緩めました。

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