計量経済学：復習テスト 15 学籍番号氏名 2014 年 12 月 1 日注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出すること． 1. 確率変数 X の平均を µ，分散を σ 2 とする．以下の不等式を証明しなさい．（a）（マルコフの不等式）任意の c > 0 について Pr[|X| ≥ c] ≤ E(|X|) c （b）（チェビシェフの不等式）任意の c > 0 について Pr[|X − µ| ≥ c] ≤ 1 σ2 c2 ¯ n とする． 2. 平均 µ，分散 σ 2 の母集団分布から抽出した無作為標本 (X1 , . . . , Xn ) の標本平均を X ¯ n の期待値を求めなさい．（a）X ¯ n の分散を求めなさい．（b）X ¯ n = µ となることを証明しなさい．（c）チェビシェフの不等式を用いて plimn→∞ X ¯ n の漸近分布はどうなるか？（d）X 2 解答例 1.（a） ∫ c Pr[|X| ≥ c] = c fX (x) dx |x|≥c ∫ cfX (x) dx = |x|≥c ∫ ≤ |x|fX (x) dx |x|≥c ∞ ∫ ≤ −∞ |x|fX (x) dx = E(|X|) （b）マルコフの不等式より [ ] Pr[|X − µ| ≥ c] = Pr |X − µ|2 ≥ c2 ( ) E |X − µ|2 ≤ c2 var(X) = c2 2.（a） ) X1 + · · · + Xn n E(X1 ) + · · · + E(Xn ) = n µ + ··· + µ = n =µ ( ) ¯n = E E X ( （b）X1 , . . . , Xn は独立だから ) X1 + · · · + Xn n var(X1 + · · · + Xn ) n2 var(X1 ) + · · · + var(Xn ) n2 σ2 + · · · + σ2 n2 2 σ n ( ) ¯ n = var var X = = = = ( （c）チェビシェフの不等式より，任意の ϵ > 0 について ( ) ¯ ] [ ( ) ¯ n ≥ ϵ ≤ var Xn ¯n − E X Pr X 2 ϵ すなわち 2 [ ] ¯ n − µ < ϵ > 1 − σ /n Pr X ϵ2 3 n → ∞ の極限をとると [ ] ¯ n − µ < ϵ ≥ 1 lim Pr X n→∞ 確率は 1 以下なので等号が成立．（d）中心極限定理より ( ) 2 ¯ n ∼a N µ, σ X n 4