講義ノート

第六回重心の運動
物理学講義 I
2014 年 5 月 27 日
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前回のポイント
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• 剛体または質点系の質量中心（重心）の計算法を学んだ。
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• 質点系が重力によって質量中心のまわりに回転することはない。
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質点系と剛体の運動法則
質量中心の定義
M R = m1 r1 + m2 r2 + · · · + mN rN =
N
∑
mi ri
(1)
i
両辺の時間による１階、２階微分を取れば、
˙ = m1 r˙1 + m2 r˙2 + · · · + mN rN
˙ =
MR
N
∑
mr˙i =
i
¨ = m1 r¨1 + m2 r¨2 + · · · + mN r¨N =
MR
N
∑
∑
Pi = P
(2)
Fi = F
(3)
i
mr¨i =
i
∑
i
となる。
2
F2
1
3
F1
F3
図 1: ３質点系の各質点に働く力。
簡単のため図 1 のような３つの質点系を考えよう。質点 i(i = 1, 2, 3) はそれぞれ外力 Fi (i = 1, 2, 3)
1
を受けており、更に他の質点からの内力 Fi←j (j = i) を受けている。各質点の運動方程式は、
m1 ¨r1
= F1 + F1←2 + F1←3
(4)
m2 ¨r2
= F2 + F2←1 + F2←3
(5)
m3 ¨r3
= F3 + F3←1 + F3←2
(6)
となる。内力に関して作用反作用の法則より、Fi←j = −Fj←i であることに注意して、式（4）、
（5）、（6）の辺々を足せば、
m1 ¨r1 + m2 ¨r2 + m3 ¨r3 = F1 + F2 + F3
(7)
となる。式（7）は式（3）を用いて
¨ =F
MR
(8)
と書ける。ここで右辺の F は、質点系に働く外力の総和 F = F1 + F2 + F3 である。これより、剛
体あるいは質点系がいくつもの力を受けて運動しているとき、質量中心は全質量 M と同質量の質
点が、外力 F を受けるときと同じ運動を行うということが言える。第 4 回の講義ノートの冒頭で考
えた系を思い出してほしい。棒の質量中心 G を支えるのに必要な力の大きさは、各質点 m1 、m2
に働く重力の合力の大きさに等しかったはずである。
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例１：伸縮する軽いばねの両端に２つのおもりをつけて、引っ張った後に自由落下させる。こ
のとき重心の軌跡はどうなるか？
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例２：手榴弾をピンを抜いて投げた。最初手榴弾は放物線を描いて飛んだが、ある地点で爆発
し、たくさんの破片に分解して地上に落下した。破片の重心はどのような運動をするか？
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運動量保存則
質点系の全運動量は
P = m1 v1 + m2 v2 + · · ·
(9)
と表される。一方で重心の定義は
M R = m1 r1 + m2 r2 + · · ·
∑
M =
mi
(10)
(11)
i
である。式（11）を時間微分して、
P = MV
(12)
を得る。V は重心速度である。質点系の全運動量は全質量に重心速度をかけたものに等しい。
式（12）を時間で微分すると、
dV
dP
=M
=F
dt
dt
2
(13)
となり、これは重心の運動方程式である。もし外力の総和がゼロならば
dP
=0
dt
(14)
となる。系の外部から力が働かない質点系の運動量の和は時間変化しない。これを運動量保存則と
いう。
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運動量保存則
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外力を受けずに運動している物体の運動量は時間変化しない。
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例３：連結された二つの台車の連結部分を爆竹で爆破する。爆破の衝撃で二つの台車がレール
の上を走りだした。最初二つの台車は静止していたとして、この二つの台車の運動を議論し
なさい。
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例４：質量 M の宇宙船が運行速度 vi で一直線上を進行している。進行中に積み荷モジュー
ル（質量 0.2M ）を分離した。このときの積み荷モジュールと本体の分離後の速さはどれだけ
になるか。
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この回のまとめ
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• 質点系がいくつもの外力を受けて運動しているとき、その質量中心は、全質量 M が外
力の総和 F を受けるときと同じ運動をする。
• 系の外部から働く合力が 0 のとき、質点系の運動量の和は時間変化しない。これを運動
量保存則という。
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